План-конспект занятия по теме «Магический квадрат»

Очирова Ю.Н. ,

МКОУ «Яшкульская СОШ»,

учитель математики

Цели:



пробуждение и развитие устойчивого познавательного интереса

учащихся к предмету;



формирование умения использовать знания в нестандартной ситуации;



формирование товарищеского доброжелательного отношения к

одноклассникам;



знакомство с различными магическими квадратами, их свойствами.

– Милостливый государь, я составил магический квадрат 21-го порядка!

– А я – рамочный 23-го!

(из переписки Баше де Мезириака и Рене Декарта)

Ход занятия

1)

Вступительное слово учителя

Среди занимательных задач теории чисел в число интереснейших входят те,

которые связаны с магическими (волшебными) квадратами. Учение о них

занимало значительное место в древние времена. Магический квадрат –

древнекитайского происхождения. Согласно легенде, во времена правления

императора Ю (ок. 2200 до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла

священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные

иероглифы, и эти знаки известны под названием ло-шу. В XI веке о

магических квадратах узнали в Индии, а затем в Японии. В XVI веке Корнелий

Генрих Агриппа построил квадраты 3-го, 4-го, 5-го, 6-го, 7-го, 8-го и 9-го

порядков, которые были связаны с астрологией 7-ми планет. Бытовало

поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от

чумы. В работах XVII века магические квадраты выступили в роли

математических развлечений.

Обратимся к Большой Советской энциклопедии: "Магический квадрат —

квадрат, разделённый на равное число n столбцов и строк, со вписанными в

полученные клетки первыми n2 натуральными числами, которые дают в

сумме по каждому столбцу, каждой строке и двум большим диагоналям

одно и то же число».

2)

Разминка

Вставь недостающие цифры (цифры в квадрате от 1 до 9) в магический

квадрат.

Своеобразная мозаика чисел действительно придает магическому квадрату

волшебную силу произведения искусства. Этот факт привлек не только

математиков, но и художников. В начале VI века выдающийся немецкий

художник, математик, астроном и географ Альберт Дюрер (1471–1528), в

одной из своих гравюр, названной «Меланхолия» (1514), за фигурой

крылатой женщины воспроизвел магический квадрат из 16 клеток.

Рассмотрим внимательнее, изображенный магический квадрат. Интересно,

что в двух средних клетках нижней строки указано время ее написания (1514

год).

16 3

2 13

5 10 11 8

9

6

7 12

4 15 14 1

В этом магическом квадрате таится немало загадочных свойств.

3)

Задание

Найти как можно больше свойств магического квадрата.

Проверка и обсуждение.

Свойство 1. Сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на каждой из

двух диагоналей одна и та же. Она равна 34.

Свойство 2. Сумма чисел, расположенных по углам квадрата, также равна 34.

Свойство 3. Суммы чисел в каждом из четырехклеточных квадратов,

примыкающих к вершинам данного квадрата, и в таком же центральном

квадрате из 4 клеток – одинаковы, каждая равна 34.

Свойство 4. В любой строке квадрата имеется два рядом стоящих числа, с

суммами 15 и 19 соответственно.

При желании можно отыскать и другие свойства квадрата Дюрера.

4)

Изучение новой темы

Математики изобрели несколько методов построения математических

квадратов.

Мы рассмотрим один из методов. Метод Террас, который применяется для

построения магических квадратов нечетного порядка.

Рассмотрим на примере магического квадрата третьего порядка.

Алгоритм

1.

С четырех сторон к исходному квадрату 3х3 добавляются террасы.

2.

В полученной фигуре располагают числа от 1 до 9 естественном

порядке косыми рядами снизу вверх.

3.

Числа в террасах, не попавшие в квадрат, перемещаются как бы вместе

с террасами внутрь него так, чтобы они примкнули к противоположным

сторонам квадрата(т.е. сдвигаем на n=3 единицы: 1 – вниз, 3 – влево, 9 –

вверх, 7 - вправо).

4.

Получаем магический квадрат 3х3. Сумма чисел равен 15.

5)

Закрепление

Построение магического квадрата n=5

Сейчас построим с вами магический квадрат пятого порядка, используя

метод террас.

Будем заполнять квадрат по шагам, по алгоритму.

1.

С четырёх сторон к исходному квадрату 5х5 добавлены террасы.

2.

В полученной фигуре расположим числа от 1 до 25 в естественном

порядке косыми рядами снизу вверх, как в примере с квадратом третьего

порядка.

3.

Числа, не попавшие в выделенный квадрат, сдвигаем на n=5 единиц:

1,2,6 – вниз, 4,5,10– влево, 24,25,20 – вверх, 16,21,20 – вправо.

4.

Получаем магический квадрат 5х5. Сумма чисел равен 65.

Методом террас можно построить не только традиционный магический

квадрат нечётного порядка, но и квадрат, заполненный любыми другими

числами, лишь бы разность между каждым последующим и предыдущим

числом была постоянной. Так, на рисунке вы видите нетрадиционный

магический квадрат пятого порядка, заполненный чётными числами от 2 до

50, построенный методом террас.

6)

Итог занятия

Что мы сегодня узнали?

Расскажите алгоритм построение магических квадратов.

7)

Домашнее задание

Построить магический квадрат седьмого порядка