ТВЕРСКОЕ СУВОРОВСКОЕ ВОЕННОЕ УЧИЛИЩЕ

МИНИСТЕРСТВА ОБОРОНЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ОД

физики, химии и биологии

Тверь

БИОЛОГИЯ

10 класс

Преподаватель биологии

Жарова И.Б.

ТВЕРСКОЕ СУВОРОВСКОЕ ВОЕННОЕ УЧИЛИЩЕ

МИНИСТЕРСТВА ОБОРОНЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ОД МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА И ИКТ

Тверь 2021

Преподаватель математики

Белякова Г.А.

Тридцатое сентября.

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка

вырожденные невырожденные

(прямые, точки и т.д.) (окружность,

эллипс,

гипербола,

парабола)

Эллипс и окружность

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости,

сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек плоскости F

1

и F

2

есть величина постоянная и равная 2a (2a>|F

1

F

2

|).

Точки F

1

и F

2

называют фокусами эллипса.

Выберем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы фокусы F

1

и F

2

лежали на оси Ox на одинаковом расстоянии от O.

В такой системе координат:

F

1

(–c;0) и F

2

(c;0) ,

где |OF

1

| = |OF

2

| = c.

O

1

F

2

F

M

Построение ЭЛЛИПСА

Для того чтобы нарисовать эллипс,

потребуются нить и кнопки.

Прикрепим концы нити к фокусам.

Карандашом натянем нить так,

чтобы его острие касалось бумаги.

Будем перемещать карандаш по

бумаге так, чтобы нить оставалась

натянутой. При этом карандаш будет

вычерчивать на бумаге эллипс.

Уравнение эллипса

Уравнение:

1

2

2

2

2





b

y

a

x

называется каноническим уравнением эллипса.

Система

координат,

в

которой

эллипс

имеет

такое

уравнение,

называется

его

канонической системой координат.

СВОЙСТВА ЭЛЛИПСА

1) Эллипс лежит внутри прямоугольника, ограниченного x=



a, y=



b.

2)

Эллипс

имеет

центр

симметрии

(начало

координат)

и

две

оси

симметрии (оси Ox и Oy).

Центр симметрии эллипса называют центром эллипса.

Ось симметрии эллипса, проходящую через фокусы (ось Ox) называют

большой (или фокальной) осью симметрии,

а вторую ось (ось Oy) – малой осью.

Точки A

1

, A

2

, B

1

, B

2

называются вершинами эллипса.

Отрезок A

1

A

2

и его длина 2a называются большой (фокальной) осью,

отрезок B

1

B

2

и его длина 2b – малой осью.

Величины

a

и

b

называются

большой

и

малой

полуосью

соответственно.

Длина отрезка F

1

F

2

(равная 2c) называется фокусным расстоянием.

Если M – произвольная точка эллипса, то отрезки MF

1

, MF

2

и их

длины r

1

, r

2

называются фокальными радиусами точки M

1

A

1

F

2

A

1

B

2

B

2

F

x

y

Окружность

является частным случаем эллипса при

Окружность, центром которой является точка ,

определяется уравнением

2

2

0

2

0

)

(

)

(

R

y

y

x

x









b

a



2

2

2

a

y

x





)

,

(

0

0

0

y

x

O

Гипербола

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости,

модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек плоскости

F

1

и F

2

есть величина постоянная и равная 2a (2a < |F

1

F

2

|).

Точки F

1

и F

2

называют фокусами гиперболы.

Выберем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы фокусы F

1

и F

2

лежали на оси Ox на одинаковом расстоянии от O.

В такой системе координат:

F

1

(–c;0) и F

2

(c;0) ,

где |OF

1

| = |OF

2

| = c.

O

1

F

2

F

M

Уравнение :

1

2

2

2

2





b

y

a

x

называется каноническим уравнением гиперболы.

Система координат, в которой гипербола имеет такое уравнение, называется ее

канонической системой координат.

СВОЙСТВА ГИПЕРБОЛЫ

1

) Точек гиперболы нет в полосе, ограниченной прямыми x=



a.

2)

Гипербола

имеет

центр

симметрии

(начало

координат)

и

две

оси

симметрии (оси Ox и Oy).

Центр симметрии гиперболы называют центром гиперболы.

Ось симметрии гиперболы, проходящую через фокусы (ось Ox)

называют

действительной

(или

фокальной)

осью

симметрии,

а

вторую ось (ось Oy) – мнимой осью.

Точки A

1

, A

2

называются вершинами гиперболы.

Отрезок A

1

A

2

и его длина 2a называются действительной (фокальной) осью, отрезок

B

1

B

2

и его длина 2b – мнимой осью.

Величины a и b называются действительной и мнимой полуосью соответственно.

Длина отрезка F

1

F

2

(равная 2c) называется фокусным расстоянием. Если M –

произвольная точка гиперболы, то отрезки MF

1

, MF

2

и их длины r

1

, r

2

называются

фокальными радиусами точки M

1

A

1

F

2

A

b

2

F

x

y

a

b



1

B

2

B

Парабола

Пусть ℓ – некоторая прямая на плоскости, F – некоторая точка плоскости, не

лежащая на прямой ℓ.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Параболой называется геометрическое место точек плоскости,

расстояние от которых до фиксированной прямой ℓ и до фиксированной точки F

(не лежащей на прямой ℓ) одинаково.

Точку F называют фокусом параболы, прямую ℓ – директрисой.

Выберем декартову прямоугольную систему координат так, директриса параболы ℓ

была перпендикулярна оси Ox, фокус F лежал на положительной части Ox и

расстояние от O до F и до ℓ было одинаковым.

В такой системе координат:

F

(0,5p;0) и ℓ: x + 0,5p =0 ,

где p – расстояние от F до ℓ .

O

2

F

M



Уравнение:

y

2

= 2px

называется каноническим уравнением параболы.

Система координат, в которой парабола имеет такое уравнение, называется ее

канонической системой координат.

Точка, в которой парабола пересекает свою ось, называется вершиной параболы,

Число p называется параметром параболы.

Если M – произвольная точка параболы, то отрезок MF и его длина называются

фокальными радиусами точки M.

p

F

x

y



1

A

2

A

2

B

2

C

1

B

1

C

x

y

z

b

x

y

z

a