Вычисление интегралов

различными методами.

Применение определенного

интеграла к вычислению площади

плоской фигуры

Функция F(x) называется

первообразной для функции f(x) на

интервале X=(a,b) (конечном или

бесконечном), если в каждой точке этого

интервала f(x) является производной для

F(x), т.е.

Фигура, ограниченная графиком

функции y = f(x) прямыми x = a, x = b и осью

абсцисс, называется криволинейной

трапецией, ABCD -это криволинейная

трапеция.

y

y

y

y

x

x

x

x

1.

4.

3.

2.

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ - это

предел, к которому стремится

интегральная сумма

при .

Обозначают:

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ

ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Если f (x) на отрезке [a; b] неотрицательна,

то определенный интеграл

равен площади

криволинейной трапеции, ограниченной

графиком функции f (x), осью абсцисс и

прямыми x = a, x = b,т.е.



b

a

dx

x

f

)

(





b

a

dx

x

f

S

)

(

ФОРМУЛА НЬЮТОНА-

ЛЕЙБНИЦА

Если f(х) – непрерывная и неотрицательная на

отрезке [a; b] функция , а F(х) – ее

первообразная на этом отрезке , то

площадь S соответствующей криволинейной

трапеции равна приращению первообразной

на отрезке [a; b] , т.е.

)

(

)

(

)

(

)

(

a

F

b

F

x

F

dx

x

f

b

a

b

a









)

(

)

(

)

(

)

(

a

F

b

F

x

F

dx

x

f

S

b

a

b

a











СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО

ИНТЕГРАЛА

1.









a

a

dx

x

f

0

;

2.







b

a

a

b

dx

;

3.

















b

a

a

b

dx

x

f

dx

x

f

;

4.

































b

a

b

a

b

a

dx

x

f

dx

x

f

dx

x

f

x

f

2

1

2

1

;

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО

ИНТЕГРАЛА

5.















b

a

b

a

dx

x

f

K

dx

x

Kf

;

6.























b

a

c

a

b

c

dx

x

f

dx

x

f

dx

x

f

;

7.









b

a

dx

x

f

0

, если





0



x

f

.

Таблица интегралов

;

.

1

C

x

dx











;

1

1

.

2

1















n

C

n

x

dx

x

n

n

;

ln

.

3

C

x

x

dx







;

ln

.

4

C

a

a

dx

a

x

x







;

.

5

C

e

dx

e

x

x















;

cos

sin

.

6

C

x

dx

x







;

sin

cos

.

7

C

x

dx

x

;

cos

.

8

2

C

x

tg

x

dx







;

sin

.

9

2

C

x

ctg

x

dx









;

ln

2

1

.

10

2

2

C

a

x

a

x

a

a

x

dx













;

ln

.

11

2

2

2

2

C

a

x

x

a

x

dx













;

arcsin

.

12

2

2

C

a

x

x

a

dx









.

1

.

13

2

2

C

a

x

arctg

a

a

x

dx









Примеры:

12

)

0

8

8

(

4

3

4

3

4

3

3

8

0

3

8

0

8

0

3

/

4

3













x

x

x

dx

x

)

1

(

2

1

)

(

2

1

2

1

2

2

2

4

2

1

2

2

1

2













e

e

e

e

e

dx

e

x

x

24

4

3

)

3

4

1

20

(

)

1

4

1

(

)

3

4

3

(

)

4

(

4

)

1

(

3

1

4

3

1

3

1

4

3

1

3

1

4

3

1

3

3

















































x

x

x

x

dx

dx

x

dx

x

Пример

Вычислить .

dx

e

x





3

0

3





















































0

3

1

3

3

1

3

0

3

1

3

0

3

1

3

0

3

3

3

e

e

e

dx

e

dx

e

x

x

x





e

e

e

e

































1

3

1

1

3

1

3

1

Интегрирование

методом

подстановки.

Теорема (Замена переменной в

определенном интеграле).

Пусть





x

f

непрерывна на





b

a,

, а

функция





t

x





непрерывна вместе

со своей производной





t





на

отрезке









,

, причем











a

,











b

. Тогда

















dt

t

t

f

dx

x

f

b

a

















.

Пример





































2

1

2

3

0

2

2

2

1

2

,

3

1

,

0

2

,

1

1

1

1

tdt

t

t

t

x

t

x

tdt

dx

t

x

t

x

t

x

x

xdx























































































1

3

1

2

3

8

2

3

2

1

2

1

2

2

1

2

1

2

1

3

2

2

t

t

dt

t

dt

t

3

8

3

4

2

1

3

7

2

1

3

1

2

3

8

2











































Интегрирование по

частям

Теорема (Интегрирование по частям в

определенном интеграле).

Если функции





x

u

u



,





x

v

v



и их

производные





x

u



и





x

v



непрерывны на отрезке





b

a,

, то











b

a

b

a

b

a

vdu

v

u

udv

.





















e

e

e

x

dx

x

x

x

x

v

dx

dv

x

dx

du

x

u

xdx

1

1

1

ln

,

,

ln

ln

1

1

1

ln

ln

ln

1

1

1





















e

e

x

e

e

dx

x

x

e

e

e

Пример

Применение определенного

интеграла для вычисления

площадей плоских фигур

ОСНОВНЫЕ СЛУЧАИ

РАСПОЛОЖЕНИЯ ПЛОСКОЙ

ФИГУРЫ

Случай I. Фигура ограничена осью ОХ, прямыми х=а ,

х = b и графиком функции у = f(x), причем f(x)>0.





b

a

dx

x

f

S

)

(

0

)

(

,

)

(







x

f

dx

x

f

S

b

a

Случай II. Фигура ограничена осью ОХ, прямыми х=а,

х = b и графиком функции у = f(x), причем f(x)<0.

ОСНОВНЫЕ СЛУЧАИ

РАСПОЛОЖЕНИЯ ПЛОСКОЙ

ФИГУРЫ

Случай III. Фигура ограничена осью ОХ, прямыми х=а, х

= b и графиками функций у = f(x) и y= φ(x), причем

f(x)>0, φ(x)>0.

ОСНОВНЫЕ СЛУЧАИ

РАСПОЛОЖЕНИЯ ПЛОСКОЙ

ФИГУРЫ

Случай IV.

Если f(x)



0, φ(

x)



0, то графики функций

расположены

ниже оси абсцисс, а условие f(x) ≥ φ(x), означает,

что график f(x) расположен выше графика φ(x)>0.

ОСНОВНЫЕ СЛУЧАИ

РАСПОЛОЖЕНИЯ ПЛОСКОЙ

ФИГУРЫ

Случай V. Фигура ограничена осью ОХ, прямыми х=а,

х = b, причем на интервале (а,с) φ(x)>0, а на интервале

(c,d) φ(x)<0, тогда:

ОСНОВНЫЕ СЛУЧАИ

РАСПОЛОЖЕНИЯ ПЛОСКОЙ

ФИГУРЫ

Случай VI. Фигура ограничена осью ОХ, прямыми

х=а, х = b, причем на интервале (а,с) φ(x)<0, а

на интервале (c,b) φ(x)>0, тогда:

ОСНОВНЫЕ СЛУЧАИ

РАСПОЛОЖЕНИЯ ПЛОСКОЙ

ФИГУРЫ

S= S

1

+ S

2











b

с

с

a

dx

x

f

dx

x

f

S

)

(

)

(