Автор: Ивкина Людмила Николаевна
Должность: учитель математики
Учебное заведение: МАОУ лицей №7 г. Томска
Населённый пункт: Томск
Наименование материала: Методическая разработка
Тема: Метод вспомогательной окружности
Раздел: среднее образование
ИДЕИ
и
КЛЮЧЕВЫЕ ЗАДАЧИ
МЕТОД
вспомогательной
окружности
Ключевая идея 1
Обнаружить или построить
четырехугольник,
сумма противоположных
углов которого равна 180°
Задача 1. Из произвольной
точки
M
катета
A C
прямоу-
гольного треугольника
A BC
опущен
перпендикуляр
MK
на гипотенузу
.
A B
Докажите,
что
.
MKC
MBC
C
A
B
M
K
C
A
B
M
K
Задача 2. Из точки
,
M
кото-
рая
принадлежит
углу
,
A OB
но не принадлежит его сторо-
нам, опущены перпендикуляры
1
MM
и
2
MM
на прямые
OA
и
.
OB
Докажите, что
1
2
.
M M
OM
O
A
B
M
M
1
M
2
С
A
B
H
1
H
2
H
3
H
Задача 3. Докажите, что вы-
соты
1
,
A H
2
BH
и
3
CH
остро-
угольного треугольника
A BC
делят пополам углы треуголь-
ника
1
2
3
.
H H H
С
A
B
H
1
H
2
H
3
H
Задача 4. Биссектрисы
BK
и
CM
треугольника
A BC
пере-
секаются в точке
,
O
60 .
A
Докажите, что
.
OK
OM
С
A
B
K
M
O
60°
120°
С
A
B
O
F
D
С
A
B
O
F
D
Задача 5. Вне прямоугольно-
го треугольника
A BC
на его
гипотенузе
A B
построен ква-
драт
.
A BFD
Докажите,
что
,
A CO
OCB
где
O
— то-
чка
пересечения
диагоналей
квадрата.
С
A
B
D
O
K
M
С
A
B
D
O
K
N
M
С
A
B
D
O
K
M
N
С
A
B
D
O
K
M
N
Задача 7. Диагонали квадрата
A BCD
пересекаются в точке
.
O
Точки
K
и
M
— середины
соответственно
отрезков
BC
и
.
OD
Найдите угол
.
A MK
Ключевая идея 2
Обнаружить две точки,
лежащие в одной полуплоскости
от данной прямой, из которых
данный отрезок, принадлежащий
этой прямой, виден под
одинаковыми углами
Задача
8.
В
остроугольном
треугольнике
A BC
отрезки
1
CC
и
1
A A
— высоты. Докажи-
те, что серединный перпенди-
куляр
отрезка
1
1
C A
проходит
через середину стороны
.
A C
С
A
B
C
1
A
1
С
A
B
C
1
A
1
Задача
11.
В
треугольнике
A BC
(
)
A C
BC
проведена
медиана
.
CD
Известно,
что
90 .
DCA
DBC
Дока-
жите, что
90 .
A CB
С
B
A
D
С
B
A
D
C
1
С
B
A
D
C
1
З
а д а ч а
1 3 .
Н
а
м е д и
а н
е
BM
т р
е -
у г о
л
ь
н
и
к а
A BC
о
т м
е т и
л
и
т о
ч
к у
K
т а к ,
ч
т о
.
MKC
BCM
Д
о
к а ж и
т е ,
ч
т о
.
A KM
BA M
С
B
A
M
K
С
B
A
M
K
D
С
B
A
M
K
D
С
B
A
M
K
D
С
B
A
M
K
D
С
B
A
M
K
D
С
B
A
M
K
D
С
B
A
O
С
B
A
O
Ключевая задача 1. Точки
O
и
B
расположены в одной по-
луплоскости
относительно
прямой
.
A C
Известно,
что
OA
OC
и
2
.
A OC
A BC
Докажите, что точки
,
A
B
и
C
лежат на окружности с цен-
тром
.
O
Задача 14. Дан квадрат
.
A BCD
Вне квадрата отметили точку
E
так, что
30 ,
BA E
BCE
75 .
Найдите угол
.
CBE
A
B
D
E
C
30°
75°
A
B
D
E
C
30°
75°
45°
A
B
D
E
C
30°
75°
45°
A
B
D
E
C
30°
75°
45°
Задача 15. Даны равнобедрен-
ный треугольник
A BC
( A B
)
A C
и точка
,
M
ему не при-
надлежащая, но принадлежащая
углу
.
A BC
Найдите угол
,
BA M
если
50 ,
A BC
BMC
40 ,
10 .
BMA
A
B
M
E
C
50°
40°
10°
A
B
M
E
C
50°
40°
10°
A
B
M
E
C
50°
40°
10°
80°
Ключевая задача 2. Точки
O
и
C
расположены в разных полу-
плоскостях
относительно
пря-
мой
.
A B
Известно, что
A O
OB
и
2(180
).
A OB
A CB
Докажите, что точки
,
A
B
и
C
лежат на окружности с центром
.
O
B
C
A
O
B
C
A
O
Задача 16. В выпуклом четы-
рехугольнике
A BCD
известно,
что
100 ,
BA D
BCD
130 ,
.
A B
A D
Докажите,
что
.
A B
A C
A
B
C
D
100°
130°
A
B
C
D
100°
130°