Открытый урок

«Решение

тригонометрических уравнений»

Учитель математики МБОУ СОШ №22

Тхакохова А.А.

Тема урока

:

«Решение тригонометрических уравнений»

Тип урока: урок-консультация.

Цели и задачи урока:

1) образовательные – отработать умения систематизировать, обобщать знания, полученные

в процессе изучения темы, применять их к решению задач; решать тригонометрические урав-

нения, используя различные приемы и способы; отработать умение применять справочные

материалы;

2) развивающие – развивать логическое мышление, грамотную математическую речь, уме-

ние делать выводы и обобщения;

3) воспитательные – воспитывать у учащихся аккуратность, культуру поведения, чувство

ответственности, умение видеть и достигать цель.

Оборудование урока: магнитная доска, карточки; компьютер для демонстрации презента-

ций; тетради; таблицы по тригонометрии:

а) таблица значений тригонометрических функций некоторых углов;

б) формулы решения простейших тригонометрических уравнений (в том числе частные про-

стейшие тригонометрические уравнения);

в) основные формулы тригонометрии.

Содержание урока.

Деятельность учителя

Деятельность

ученика

I.

Организационный этап.

Задача: подготовить учащихся к работе на уроке.

Взаимное приветствие; проверка подготовленности учащихся к уроку (рабочее место,

внешний вид); организация внимания.

Готовятся к уроку.

II.

Исторические сведения.

Задача: поддержать интерес к изучаемому предмету.

Слово тригонометрия происходит от двух греческих слов: тригонон – треугольник

и метрейн – измерять и в буквальном переводе означает измерение треугольников.

Градусное измерение углов возникло в Древнем Вавилоне (в середине II тысячеле-

тия до нашей эры). Вавилонская система измерения углов оказалась достаточно удобной,

и ее применяли и сохранили математики Древней Греции и Рима (Гиппарх, Птолемей,

Пифагор).

Принятая сегодня система обозначения величин углов получила широкое распро-

странение на рубеже XVI–XVII веков; ею уже пользовались известные астрономы Нико-

лай Коперник и Тихо Браге.

Синус – латинское слово и означает изгиб, кривизна; косинус – «дополнительный

синус» или синус дополнительной дуги

. Термины «тангенс» (в

буквальном переводе – «касающийся») и «котангенс» произошли от латинского языка и

появились в Европе значительно позднее. Среднеазиатские ученые называли соответ-

ствующие линии «тенями»: котангенс – «первой тенью», тангенс – «второй тенью».

Современный вид тригонометрия получила благодаря крупнейшему математику

XVIII столетия Леонарду Эйлеру (1707 – 1783), швейцарцу по происхождению. Долгие

годы он работал в России и являлся членом Петербургской Академии наук. Именно Эй-

лер впервые ввел известные определения тригонометрических функций, стал рассматри-

вать функции произвольного угла, получил формулы приведения.

В настоящее время тригонометрия является одним их основных разделов совре-

менной математической науки.

III.

Актуализация опорных знаний и умений.

Задачи: повторить основные понятия, связанные с решением тригонометрических

уравнений; совершенствовать знания, умения и навыки учащихся в области решения

тригонометрических уравнений.

1.

А теперь мы проведем небольшую устную разминку. Послушайте предысторию:

«Ученик решил отправить на автобусе за город в лес. Прибыв на место он пустился на

поиски грибов. Вечерело. Стало темнеть, и он стал плутать». У вас на столе лежит карта

местности, по которой бродил ученик. Ваша задача состоит в том, чтобы решая пример

за примером и двигаясь в том направлении, угол который вы найдете, выяснить, куда же

вышел горе-путешественник.

2.

Обратим свое внимание на опорный конспект. С помощью этого конспекта

определите, какие из предложенных вам уравнений не имеют корней и почему?

1) sin x = 0; 2) cos x =

; 3) tg x = 2; 4) sin x = 1,5; 5) cos x = -2.

3. Давайте обратим внимание на решения уравнений, которые вам предложены. Пра-

вильно ли решено это уравнение?

Пример 1.

.

Разделим обе части уравнения на 4.

,

.

Пример 2.

.

Разделим обе части уравнения на

.

,

,

уравнение не имеет корней, так как

.

Учитель предлагает найти ошибку при решении этих уравнений и исправить ее, выясня-

ет в каком случае можно производить деление на

без потери корней.

Учащиеся работают в

парах.

Учащиеся поднимают

руки и дают ответы с

комментариями.

Ошибка заключена в

делении на 4.

Ошибка заключена в

делении на выраже-

ние, содержащее

переменную.

IV.

Постановка учебной задачи.

Задача: повторить методы решения тригонометрических уравнений.

Обращает внимание учащихся на магнитную доску, где расположены карточки с запи-

сью тригонометрических уравнений, и предлагает учащимся назвать способы решения

уравнений.

По способу решения тригонометрические уравнения можно классифицировать

следующим образом:

- уравнения, сводящиеся к квадратным;

- уравнения, решаемые путем разложения на множители;

- однородные тригонометрические уравнения;

- уравнения, решаемые с помощью тождественных преобразований.

Учащиеся перечисля-

ют способы решения

тригонометрических

уравнений.

V.

Самостоятельная работа учащихся с последующей проверкой.

Задача: проверить умение учащихся решать тригонометрические уравнения, выби-

рая оптимальный способ решения.

Решите уравнение:

I ряд.

(МГУ, геологический ф-т, 2004 г.)

II ряд.

(ЕГЭ, 2002 г.)

III ряд.

(учебно-тренировочные материалы к ЕГЭ, 2004 г.)

IV ряд.

(ЕГЭ, 2003 г.)

Решение уравнений проверяются с помощью компьютера.

Учащиеся решают

самостоятельно, затем

выполняется проверка

с помощью компью-

тера.

VI.

Изложение нового материала.

Задачи: показать учащимся нетрадиционный способ решения тригонометрических

уравнений.

Пример 1.

Предлагаю решить вам следующее уравнение

.

Изложение учителя.

Использование тригонометрических формул не упростит уравнение.

Решение некоторых тригонометрических уравнений может быть основано на неравен-

ствах

,

.

Так как наибольшее значение, которое могут принять функции

и

равно

1, то уравнение равносильно системе уравнений

Решим каждое уравнение.

,

,

.

.

Все корни первого уравнения являются корнями второго (

).

,

,

,

.

Следовательно, решением исходного уравнения является множество

.

Ответ:

.

Таким образом, тригонометрические уравнения можно решать с помощью оценки их

левой и правой частей.

Пример 2.

Решим уравнение

.

Решение. О.Д.З.:

,

.

Упростим исходное уравнение, применив тригонометрические формулы.

,

,

,

,

.

Это уравнение может иметь решение только в том случае, когда

.

1)

Если

, то

, тогда

.

2)

Если

, то

, тогда

, а

.

Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

и

.

Следовательно, корнями исходного уравнения являются числа

.

Ответ:

.

Пример 3.

Решите уравнение

.

Решение. Заметим, что

.

Поэтому, если

, то

.

Тогда исходное уравнение примет вид:

,

,

,

Учащиеся отвечают

на текущие вопросы.

,

.

1)

Если

, то

.

,

,

,

.

2)

Если

, то

.

.

Аналогично:

,

,

.

Ответ:

;

.

Таким образом, при решении тригонометрических уравнений иногда используют такую

замену переменной, как

или

.

VI.

Закрепления нового материала.

Задачи

:

закрепить у учащихся знания и умения, которые они получили на уроке.

Предлагает учащимся назвать вид уравнения и способ решения уравнений:

а)

; – однородное уравнение (

).

б)

; – ур-е, решаемое путем разложения на

множ.

в)

; – ур-е, сводящееся к квадратным (замена

пер.).

г)

; – ур-е, решаемое с пом. триг. преобразова-

ний

д)

. – однородное уравнение (

).

Учащиеся называют

вид уравнения и

способ решения.

VII. Постановка домашнего задания.

Задача: закрепить умение решать тригонометрические уравнения, выбирая подхо-

дящий способ решения.

Решите уравнения:

1.

.

2.

.

3. Подберите уравнение, которое имеет нестандартный способ решения и решите его.