ПЕРЕСЧИТЫВАЯ ПУШКИНА

Числа Фибоначчи и Золотое сечение

Интегрированный урок по литературе и математике

Учитель математики: Пучкина Г. П.

Учитель литературы: Пугачева Е.Г.

Смысл этой фразы в противопоставлению искусства и науки. Сегодня на уроке мы постараемся

выяснить, возможно ли постичь гармонию стиха с помощью математики.

Математика и поэзия. Что роднит их такие разные

науки. Как показывает история, выдающиеся

математики увлекались поэзией и даже сами

пробовали писать. Известный французский

математик Ж. Дьёдонне говорил: “Стимулы

математиков всех времен: любознательность и

стремление к красоте”.

Александр Сергеевич Пушкин же писал :

«Проверил я алгеброй гармонию»

Цели урока:

- нахождение связи математики с литературой через золотое сечение и числа

Фибоначчи;

- формирование представления о единстве школьных дисциплин в понимании

целостности окружающего мира;

- приобретение знаний по математике (последовательность, числа Фибоначчи,

Золотое сечение);

и литературе ( художественные особенности романа «Евгений Онегин»:

онегинская строфа, сюжет и композиция романа).

В самом начале работы над романом «Евгений Онегин» Пушкин говорил: «Я пишу теперь не роман, а

роман в стихах — дьявольская разница».

Роман, по мысли Пушкина, должен иметь четкую структуру, должен быть отчетливо разделён на

главы. Их в романе восемь.

Глава в свою очередь, делится на строфы.

Что такое строфа? Какие бывают строфы?

Строфа – это сочетание строк (от 2 до 16) в стихотворении, где закончены циклы рифм, размера и

ритма.

Наиболее распространённый вид строфы - четверостишие. Реже встречаются трех-, пяти-,

шести-, семи-, восьмистишия.

Онегинская строфа

Пушкин изобрёл никогда не встречающуюся прежде в мировой поэзии строфу, которую теперь

называют онегинской. Она обладает такой гибкостью, что можно не только в новой главе, но и в каждой

новой строфе свободно переходить от одной мысли к другой.

«Онегинской строфой» написан весь роман, за исключением песен крепостных девушек и писем

Татьяны и Онегина.

Онегинская строфа – законченное по смыслу и форме маленькое

произведение.

Все строфы написаны по определенному плану:

первые 4 строки – тема всей строфы

второе и третье четверостишие – развитие темы

последние 2 строки – афористичная концовка, вывод

Всё хлопает. Онегин входит,

Идет меж кресел по ногам,

Двойной лорнет скосясь наводит

На ложи незнакомых дам;

Все ярусы окинул взором,

Всё видел: лицами, убором

Ужасно недоволен он;

С мужчинами со всех сторон

Раскланялся, потом на сцену

В большом рассеянье взглянул,

Отворотился — и зевнул,

И молвил: «Всех пора на смену;

Балеты долго я терпел,

Но и Дидло мне надоел»

ТЕМА

РАЗВИТИЕ ТЕМЫ

ВЫВОД

«Мой дядя самых честных правил,_______________________

Когда не в шутку занемог,_______________________________

Он уважать себя заставил_______________________________

И лучше выдумать не мог._______________________________

Его пример другим наука;_______________________________

Но, боже мой, какая скука_______________________________

С больным сидеть и день и ночь,________________________

Не отходя ни шагу прочь!________________________________

Какое низкое коварство__________________________________

Полуживого забавлять,__________________________________

Ему подушки поправлять,________________________________

Печально подносить лекарство,__________________________

Вздыхать и думать про себя:_____________________________

Когда же черт возьмет тебя!»_____________________________

Наша задача - дать определение «онегинской строфы». Для этого проведём исследование по плану:

1)определим соответствие плану;

2) посчитаем, из скольких стихов она состоит;

3) составим схему рифмовки

«онегинской строфы»;

4) определим тип рифмовки.

Тип рифмовки

Перекрёстная

1

2

3

4

Кольцевая

1

2

3

4

Парная

1

2

3

4

«Мой дядя самых честных правил,_______________________

Когда не в шутку занемог,_______________________________

Он уважать себя заставил_______________________________

И лучше выдумать не мог._______________________________

Его пример другим наука;_______________________________

Но, боже мой, какая скука_______________________________

С больным сидеть и день и ночь,________________________

Не отходя ни шагу прочь!________________________________

Какое низкое коварство__________________________________

Полуживого забавлять,__________________________________

Ему подушки поправлять,________________________________

Печально подносить лекарство,___________________________

Вздыхать и думать про себя:______________________________

Когда же черт возьмет тебя!»______________________________

а

а

б

б

в

в

г

г

д

д

е

е

ж

ж

перекрестная

парная

кольцевая

смежная

Итак, мы можем сделать вывод, что Пушкин использовал определённый порядок при написании своего

гениального романа, а не просто записывал строки в хаотическом нагромождении. Он продумывал

каждое слово, находил для него нужное место, поэтому роман так гармоничен.

Высокой страсти не имея

Для звуков жизни не щадить,

Не мог он ямба от хорея,

Как мы ни бились, отличить.

Так Пушкин пишет о своём главном герое, Евгении

Онегине. Давайте вспомним законы стихосложения и

определим стихотворный размер, которым написан

роман .

Стихотворный размер

Определим стихотворный размер

Мой дядя самых честных правил,

Когда не в шутку занемог…

Сколько ударных слогов в каждой строчке?

Это четырёхстопный ямб.

Итак, роман написан ямбом.

Числовая последовательность в стихотворных размерах

Ямб – это стихотворный размер с ударением на

Хорей – это стихотворный размер

с ударением на

Номера ударных слогов образуют числовую последовательность: 1, 3, 5, 7…

Номера ударных слогов образуют

числовую последовательность: 2, 4, 6, 8…

четных слогах стиха.

нечетных слогах стиха.

?

ЧТО ТАКОЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ

В математике с этим понятием мы встречаемся часто.

Последовательность – это………

упорядоченный ряд символов

Суть заключается в чем?

В том, чтобы найти закон, которому подчиняется данная последовательность.

Приведите пример

Например: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55.….

Например: 991, 19, 10, 1, 1, 1…

Упорядочить означает…….

расположить в ряд

Даны числа. Их можно расположить в

определенной последовательности. Например,

по возрастанию: 1,3,6,10,12,48,125,300

по убыванию: 300, 125, 48, 12, 10, 9, 6, 1

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ

Последовательность - это набор чисел, каждое из которых состоит на определенном месте

Арифметическая прогрессия – это….

последовательность, каждый член которой , начиная со

второго, отличается от предыдущего на одно и тоже число

Какое это свойство арифметической прогрессии?

Характеристическое

ПРИМЕРЫ БЕСКОНЕЧНЫХ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

1, 2, 3, 4, 5, 6…

-

последовательность натуральных чисел

2, 4, 6, 8,10…

-

последовательность четных чисел

1, 3, 5, 7, 9…

-

последовательность квадратов натуральных чисел

1, 4, 9, 16, 25…

-

последовательность нечетных чисел

2, 3, 5, 7, 11…

- последовательность простых чисел

Описанная последовательность – арифметическая прогрессия.

Приведем основные формулы для нее:

Посмотрим на числа:

- элемент a с номером n называется общим членом

последовательности

- число d – разность арифметической прогрессии

- формула вычисления суммы первых n членов прогрессии

- формула, по которой задается эта последовательность

№1

Задача

Найти закономерность, по которой записан каждый ряд и продолжить еще тремя последующими числами:

Решение:

1)

Геометрическая прогрессия, знаменатель g=3.

Каждый последующий член геометрической последовательности

получается умножение предыдущего на 3.

Ответ: 108; 324; 972; 2916; 8748; 26244; 78732

2)Арифметическая прогрессия, разность d=120.

Каждый последующий член последовательности получается

сложением к предыдущему 120.

Ответ:645; 765; 885; 1005; 1125; 1245; 1365

2)645; 765; 885;1005

;………………….

3)Арифметическая прогрессия, разность d=-20.

Каждый последующий член последовательности

получается сложением к предыдущему -20

или вычитанием 20

Ответ:1024; 1004; 984; 964; 944; 924; 904

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ

Геометрической прогрессией называется……

последовательность чисел, каждый член которой,

начиная со второго,

равен

предыдущему члену, умноженному на одно и то же число

Элементы геометрической прогрессии задаются соотношением

- формула n-го члена прогрессии

-сумма первых n членов

геометрической прогрессии

-характеристическое свойство

геометрической прогрессии

Пирамида из

последовательностей

Способы задания числовых

последовательностей

Аналитический способ

если последовательность задана

формулой n-ого члена

Числа Фибоначчи

Одна из самых интересных и известных последовательностей – числа

Фибоначчи. Эта последовательность имеет удивительные свойства и часто

встречается в природе. Например, семечки у подсолнуха упорядочены в две

спирали. Числа, обозначающие количество семечек в каждой из них, являются

членами последовательности Фибоначчи.

В X III веке Леонардо Фибоначчи обнаружил простую

последовательность чисел

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 34, 55, 89, 144

Как она образуется?

Каждый член последовательности начиная с третьего,

равен сумме двух

предыдущих.

2

Далее

он

обнаружил,

что

если

взять

два

соседних

числа

из

этой

последовательности и вычесть соотношение меньшего числа к большему, то в

итоге получится 0,618.

Отсюда следует, что отношение смежных чисел ряда

приближается к отношению золотого деления.

Давайте проверим:

34/55=0,618

55/89=0,618

89/144=0,618

Представим числа Фибоначчи в виде квадратов со стороной соответствующего

размера:

Если соединить плавной

линией углы полученных на

рисунке прямоугольников,

получим логарифмическую

спираль. Вернее, ее

частный случай – спираль

Фибоначчи. Она не имеет

границ и не изменяет

формы.

№2.

Задача

Построить спираль Фибоначчи.

№2.

Задача

Построить спираль Фибоначчи.

Числа Фибоначчи встречаются в романе следующим образом:



первая, седьмая и восьмая главы – всего 3 главы – описывают события в столицах – в

Москве и Петербурге. Остальные 5 глав – в деревне.



В седьмой главе – 55 строф.



«Онегинская строфа» состоит из 14 строк (число, близкое к числу 13 Фибоначчи).

Последовательность чисел Фибоначчи: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…

Обратим внимание ещё на одно число Фибоначчи – 21.

В некоторых из глав найдём 21 (XXI) строфу и убедимся в важности этой строфы для героев

романа.

Глава 3, строфа 21 – решение Татьяны первой признаться в любви Онегину, написав

письмо и презрев условности света:

Письмо готово, сложено…

Татьяна! Для кого ж оно?

Глава 5, строфа 21 – вещий сон Татьяны

пророчит гибель Ленского:

Вдруг Евгений

Хватает длинный нож, и вмиг

Повержен Ленский…

Глава 8, строфа 21 – пробуждение души

главного героя после встречи с Татьяной в

Петербурге:

Что с ним? В каком он странном сне!

Что шевельнулось в глубине

Души холодной и ленивой?

Досада? Суетность? Иль вновь

Забота юности – любовь?

Глава 7, строфа 21 – после посещения дома

Онегина и чтения его книг Татьяне «открылся

мир иной».

ЗОЛОТОЙ ПРЯМОУГОЛЬНИК

Золотым прямоугольником называют

прямоугольник,

у

которого длина

примерно в 1,

6 раза больше

ширины.

Стороны прямоугольника образуют

золотое сечение.

Задание

№

3

.

Начертите на альбомном

листе

любой

прямоугольник,

но

желательно

такой,

какой

вам

больше

нравится.

Найдите

отношение

ширины

прямоугольника к его длине.

𝐃

А

𝐃

С

=

= 𝐃, 𝐃𝐃

Ф

𝐃

С

𝐀𝐃

=

= 𝐃, 𝐃𝐃

Ф

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СПОСОБ ПОСТРОЕНИЯ

ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ

с

в

А

Е

D

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

ЗОЛОТОЕ ДЕЛЕНИЕ

В МАТЕМАТИКЕ ПРОПОРЦИЕЙ НАЗЫВАЮТ

Каждый

конец

пятиугольной

звезды

представляет

собой

золотой

треугольник.

Его

стороны образуют

угол 36

⁰

при

вершине,

а

основание,

отложенное на боковую сторону,

делит ее в пропорции золотого

сечения

R

N

РАВЕНСТВО ДВУХ ОТНОШЕНИЙ.

ПРОПОРЦИИ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ В РАЗНЫХ СФЕРАХ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

Золотое сечение «Алгоритм красоты»

Золотое сечение в сюжете романа «Евгений Онегин»

Чувство гармонии у Пушкина было развито необыкновенно, что объективно подтверждает

гениальность великого поэта и писателя. Интуиция в творчестве А.С. Пушкина была

необычайно сильной и плодотворной, во многом она и определила гениальность его произведения.

В течение семи лет и Пушкин работал над текстом. Он запечатлел в «Евгении Онегине»

и собственный духовный рост, и развитие своих героев.

Думая о форме плана, Пушкин в начале работы над романом не знал, какие поправки

внесет жизнь в ход повествования:

И даль свободного романа

Я сквозь магический кристалл

Еще не ясно различал.

Сюжет романа

Давайте вспомним, что такое сюжетный треугольник, какие элементы сюжета существуют.

Сюжет – последовательность изображаемых в произведении событий.

1

2

3

5

4

Изображение

места действия,

знакомство с

героями

Экспозиция

Завязка

Кульминация

Развязка

Эпилог

Событие, с

которого

начинается

развиваться

действие

Момент

наивысшего

напряжения в

действии

Положение

действующих лиц,

сложившееся в

результате описанных

событий,

заключительная сцена

Заключительная часть,

которая повествует о

дальнейшей судьбе одного

или нескольких героев за

рамками основного сюжета.

В романе выделяются две основные сюжетные линии:



история любви Онегина и Татьяны



история дружбы Онегина и Ленского

Сюжет романа

История дружбы Онегина и Ленского помогает глубже понять характер главного героя.

Попробуем определить сюжетные элементы.

знакомство двух молодых образованных дворян, оказавшихся в деревенской глуши

«Сперва взаимной разнотой

Они друг другу были скучны;

Потом понравились; потом

Съезжались каждый день верхом

И скоро стали не разлучны…»

Последнее событие является одновременно

кульминацией, так как заставило Онегина, кажется

первый раз в жизни, «содрогнуться».

Завязка:

Кульминация:

поведение Онегина на именинах Татьяны (его кокетство с Ольгой)

«Онегин поклялся Ленского взбесить

И уж порядком отомстить»

Развязка:

дуэль приятелей и смерть Ленского

«Две пули – больше ничего –

Вдруг разрешат судьбу его»

Дружба Онегина с Ленским окончилась трагически.

Онегин понимал, что все можно было исправить. Пусть Ленский проявляет горячность, он молод, ему

простительно. Но он, Онегин ведь старше и мудрее. Все можно было бы исправить, но…

в это дело

Вмешался старый дуэлист;

Он зол, он сплетник, он речист…

Конечно, быть должно презренье

Ценой его забавных слов,

Но шепот, хохотня глупцов…»

И вот общественное мненье!

Пружина чести, наш кумир!

И вот на чем вертится мир!

Общественно мнение, которое так

презирал Онегин, не позволило ему

сделать шаг к примирению.

Сюжет романа строится на истории любви Евгения Онегина и Татьяны Лариной.

В его основе лежит прием зеркальности, т.е. симметрии:

повторение одной сюжетной ситуации сначала по отношению к Татьяне, затем - к Онегину, герои как бы

меняются ролями:

встреча – письмо – объяснение = два письма, две встречи и два объяснения

Первая встреча Онегина и Татьяны происходит в третьей главе. Значит, первые две главы романа

являются экспозицией сюжета, где автор подробно рассказывает о родителях, родственниках,

воспитателях героев, показывает их любимые занятия, характеры.

Завязкой сюжета будет их первая встреча в доме Лариных, когда Онегин захотел посмотреть на Ольгу,

«предмет любви» Ленского. Татьяна произвела впечатление на главного героя. Из двух сестёр он

выделил именно Татьяну, отметив необычность её внешнего облика и заурядность Ольги:

В чертах у Ольги жизни нет.

Точь-в-точь в Вандиковой Мадонне.

Кругла, красна лицом она,

Как эта глупая луна

На этом глупом небосклоне

Кульминацией сюжета является объяснение Онегина и Татьяны в саду, когда герой равнодушно

отказывается от любви необыкновенной девушки, а Татьяна теряет все надежды на счастье:

«Мечтам и годам нет возврата;

Не обновлю души моей…

Я вас люблю любовью брата

И, может быть, еще нежней…

Так, видно, небом суждено.

Полюбите вы снова: но…

Учитесь властвовать собою:

Не всякий вас, как я, поймет;

К беде неопытность ведет».

Так как в основе сюжета лежит прием зеркальности, у сюжетной линии Татьяна - Онегин есть

вторая кульминация.

Определите, какое событие можно назвать второй кульминацией.

Это объяснение главных героев в Петербурге через несколько лет после первого. Теперь Татьяна,

блестящая светская дама, продолжая любить Онегина, отказывается ответить на его любовь , и теперь

Онегин, в свою очередь, теряет надежду на счастье:

«Я вас люблю (к чему лукавить?),

Но я другому отдана;

Я буду век ему верна».



Разговор с няней



Письмо Татьяны к Онегину

Перед вами основные события в истории любви Татьяны и Онегина. Определите завязку, кульминацию и

развязку.



Знакомство с Татьяной

«Пора пришла, она влюбилась…»

Онегин и Татьяна:



Сон Татьяны. Именины



Посещение Татьяной дома Онегина



Объяснение в саду



Встреча героев на балу в Петербурге через 2

года



Вечер у Татьяны

«Сомненья нет. Увы! Евгений в Татьяну, как

дитя, влюблен…»,



Отъезд Татьяны в Москву



Письмо к Татьяне (объяснение)

Как это число связано с романом?

Представляет несомненный интерес анализ романа "Евгений Онегин", сделанный Николаем

Васютинским. Пытаясь найти критерии гармонии и красоты в романа, ученый сделал следующие

выводы.

Золотое сечение в романе «Евгений Онегин»

Наиболее совершенной, наиболее отточенной и эмоционально

насыщенной является восьмая глава.

Н. Васютинский констатирует:

«Кульминацией главы является объяснение Евгения в любви к

Татьяне – строка «Бледнеть и гаснуть … вот блаженство!». Эта

строка делит всю восьмую главу на две части – в первой 477 строк,

а во второй – 295 строк.

Отношение равно 1,617!

Тончайшее соответствие величине золотой пропорции!

Это великое чудо гармонии, совершенное гением

Пушкина!»

Найдите отношение 477 к 295

Известно, что в окончательном

варианте печатного издания романа

А. С. Пушкина «Евгений Онегин»

восемь глав, поэтому количеству

глав соответствует геометрическая

фигура октограмма – восьмилучевая

звезда (8 – число Фибоначчи).

Построить её несложно.

ОКТОГРАММА В КОМПОЗИЦИИ РОМАНА

.

.

«

».

А С ПУШКИНА ЕВГЕНИЙ ОНЕГИН

.

ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ

Крестострел

может изображаться

в упрощенном виде -

два квадрата, один

повернут на 45

º

.

Восьмиконечная звезда Богородицы

Восьмиконечная или Вифлеемская звезда-

символ рождения Христа. В разные века число

лучей менялось, пока, наконец не достигло

восьми.

Задача

№ 3

на построение

Начертим квадрат.

Каждую

сторону

квадрата

разделим

на

три

части (3 – число Фибоначчи).

Точки деления обозначим буквами: A, B, C, D, E, K,

L,

M.

Противолежащие

точки

соединим

параллельными

линиями,

в

результате данный

квадрат

разделится

на

девять

равных

малых

квадратов.

Далее

начертим

ещё

две

пары

параллельных прямых.

Эта геометрическая фигура олицетворяет созидание и

плодородие. Роман «Евгений Онегин» созидает

непреходящие человеческие ценности – Любовь

и Верность. Последние слова Татьяны Лариной («Но я

другому отдана, я буду век ему верна») –

доказательство этой мысли.

В центральном малом квадрате

разместим Автора – повествователя

романа А. С. Пушкина, так как Автор

присутствует в каждой из восьми глав и

как действующее лицо, и как

сторонний наблюдатель, и как

сопереживающий героям свидетель.

Октограмма – такая геометрическая фигура, которую можно начертить, не отрывая

карандаша от бумаги, двумя способами. Последовательность обозначим цифрами (I вариант

– арабскими цифрами; II вариант – цифрами римскими).

•

Мы убедились, что онегинской строфе присуща

необыкновенная простота и ясность.

•

Доказали, что стихотворные размеры связаны с

математическим понятием прогрессия

•

Мы рассмотрели арифметический и

геометрический способ нахождения «Золотого

сечения», где изложены примеры золотой

пропорции в природе, в теле человека, в

литературе

•

Показали красоту «Золотого сечения» в романе

Пушкина «Евгений Онегин».

•

Проведенные исследования доказали, что многое

в окружающей природе подчиняется правилу

золотого сечения.

•

«Золотое сечение» не изучается в школьном курсе

математики, а рассматривается как гуманитарный

фон в историческом развитии математики.