Автор: Самойлова Людмила Васильевна
Должность: преподаватель
Учебное заведение: РССК РГРТУ имени В.Ф.Уткина
Населённый пункт: город Рязань
Наименование материала: методическая разработка открытого занятия
Тема: Графики и свойства функций y=cosx, y=sinx
Раздел: среднее профессиональное
1
Самойлова Л.В.
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования
«РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ В.Ф. УТКИНА»
Рязанский станкостроительный колледж РГРТУ
КОНСПЕКТ ОТКРЫТОГО УРОКА НА ТЕМУ:
Свойства и графики тригонометрических
функций y=sin x, y=cos x
МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА
ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА
ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ:
Для специальности 09.02.07
Информационные технологии (квалификация
- программист)
Выполнил: преподаватель РССК
«РГРТУ имени В.Ф.Уткина»
Л.В. Самойлова
РЯЗАНЬ 2022
Г.
2
Самойлова Л.В.
(Слайд № 1) - тема занятия
Цитата:
(Слайд №2)
Математику, друзья,
Не любить никак нельзя.
Очень строгая наука,
Очень точная наука –
Это математика!
Тип урока: урок изучения новой темы.
Цели:
(Слайд №3)
Обучающие:
повторить и закрепить уровень знаний учащихся по темам “Тригонометрические функции
числового аргумента” , “Формулы приведения. Вычисление значений тригонометрических
выражений” ;
познакомить со свойствами функций y=sin x, y=cos x;
научится строить графики функций y=sin x, y=cos x и выполнять преобразования с ними;
закрепить изученный новый материал на практике.
Развивающие:
развитие культуры математической речи;
развитие познавательного интереса к математике у учащихся, повышение творческой
активности.
Воспитательные:
воспитание математической культуры учащихся и развитие интереса к обучению;
формирование навыков внимательности, аккуратности и самостоятельности;
прививать стремление добиваться успехов в учебе за счет добросовестного отношения к
своему труду.
Оборудование: компьютерные технологии, цветные карандаши или ручки, линейки, презентация по
теме.
3
Самойлова Л.В.
План урока:
(Слайд №4)
№
Этап занятия
Цель этапа
Время
1
Организационный
момент
Сообщение темы занятия, постановка цели
занятия, сообщение этапов занятия,
проверить готовность класса к уроку.
5 мин
2
Повторение изученного
материала и проверка
домашнего задания.
Повторить теоретические сведения, проверить
домашнее задание с предыдущего занятия.
25мин
3
Изучение нового
материала
Познакомить со свойствами функций y=sin x,
y=cos x; построить графики функций y=sin x,
y=cos x ; выполнить преобразования с ними
на конкретных заданиях.
35мин
4
Закрепление изученного
материала
Первичное закрепление полученных знаний
20мин
5
Итог занятия. Домашнее
задание
Систематизация знаний, полученных на
занятии. Инструктаж по домашнему заданию
5 мин
4
Самойлова Л.В.
ХОД УРОКА
1.
Организационный момент.
1) Проверить готовность класса к уроку.
2) Сообщить тему, цели и ход урока.
2. Повторение изученного материала и проверка домашнего задания.
1 студент – с тетрадью у доски воспроизводит домашнее задание с прошлого урока;
2 студент – на магнитной доске выкладывает математическое домино в виде прямоугольника
(раздаточный материал)
√
2
2
sin 45
0
√
3
tg 60
0
√
3
2
t
g
9
0
0
c
o
s
3
0
0
н
е
с
у
щ
е
с
т
в
.
-
1
c
o
s
(
-
6
0
)
0
s
i
n
2
7
0
0
-
1
2
1
t
g
3
0
0
s
i
n
9
0
0
1
√
3
sin 30
0
1
2
cos 90
0
0
5
Самойлова Л.В.
4-ре студента выполняют задания на карточках:
(раздаточный материал)
Вариант №1
1)
Найдите числовое значение
выражения:
cos
2
90
0
+ sin 30
0
– cos 180
0
2)
Определите знак выражения:
sin 205
0
∙ cos 275
0
𝑡𝑔
200
0
∙
𝑐𝑡𝑔
105
0
3)
Упростите выражение:
sin
(
+ 𝛼
П
)
∙ cos
(
− 𝛼
П
)
𝑐𝑡𝑔
(
3
П
2
−
𝛼
)
Вариант №2
1)
Найдите числовое значение
выражения:
cos
2
П
4
+ cos
П
3
- sin
П
2
2)
Определите знак выражения:
cos 175
0
∙ ctg 300
0
𝑠𝑖𝑛
279
0
∙
𝑡𝑔
135
0
3)
Упростите выражение:
sin(
3
П
2
−
𝛼
) ∙ cos(
П
2
+
)
𝛼
𝑡𝑔
(
− 𝛼
П
)
Вариант №3
1)
Найдите числовое значение
выражения:
cos 180
0
- sin 270
0
+ sin
2
45
0
2)
Определите знак выражения:
sin 310
0
∙ cos
2
170
0
𝑡𝑔
190
0
∙
𝑐𝑡𝑔
92
0
3)
Упростите выражение:
tg (
3
П
2
−
𝛼
)
∙
𝑡𝑔
(
+ 𝛼
П
)
∙
𝑐𝑜𝑠
2
(
− 𝛼)
П
Вариант №4
1)
Найдите числовое значение
выражения:
sin
2
П
4
+ sin
П
6
- cos
П
2
2)
Определите знак выражения:
sin 235
0
∙ ctg 215
0
𝑡𝑔
2
95
0
∙
𝑐𝑜𝑠
2
265
0
3)
Упростите выражение:
sin
(
− 𝛼
П
)
∙ cos (
П
2
+
)
𝛼
𝑐𝑜𝑠
2
(
2
− 𝛼
П
)
Остальные студенты вместе с преподавателем повторяют изученный материал с помощью
кроссворда:
(Слайд №5)
Кроссворд
1.
Обратная функция к тангенсу.
2. От него зависит значение тригонометрической функции.
3. Мера измерения угла.
4. Какой функции недостает: sin x, cos x, ctg x….
6
Самойлова Л.В.
5. Значение тригонометрических функций повторяется через.
6. Cos x - тригонометрическая…..
7. Как называется график функции sin x?
8. (0;+∞) - что это?
9. Название тригонометрических формул.
10. Предложение, требующее доказательства.
11. Мера измерения угла.
12. Название тригонометрической функции, соответствующей оси ординат.
13. Sin x - нечетная функция, а cos x -......
Ответы:
3. Объяснение нового материала.
(Слайд №6)
План исследования тригонометрических функций:
1.
Область определения функции- D(y);
2.
Область значений функции – E(y);
3.
Четность / нечетность функции;
4.
Наименьший положительный период;
5.
Координаты точек пересечения графика функций с осями: OX, OY;
6.
Промежутки, на которых функция принимает положительные и отрицательные значения;
7.
Промежутки монотонности(возрастания и убывания) функции;
8.
Экстремумы: максимумы и минимумы функции.
1
к
о
т
а
н
г
е
н
с
2
а
р
г
у
м
е
н
т
3
р
а
д
и
а
н
4
т
а
н
г
е
н
с
5
п
е
р
и
о
д
6
ф
у
н
к
ц
и
я
7
с
и
н
у
с
о
и
д
а
8
п
р
о
м
е
ж
у
т
о
к
9
п
р
и
в
е
д
е
н
и
я
10
т
е
о
р
е
м
а
11
г
р
а
д
у
с
12
с
и
н
у
с
13
ч
ё
т
н
а
я
7
Самойлова Л.В.
(Слайд №7)
1. Свойства и график функции y = sin x
График называется – синусоида.
Функция y = sin x определена на всей числовой прямой, является нечетной и периодической с
наименьшим положительным периодом 2
.
Сначала построим график этой функции, а затем опишем её свойства по графику.
Весь график функции y = sin x можно построить с помощью части графика, построенного на отрезке
0
x
.
Итак, составим таблицу значений функции y = sin x для нескольких значений x на отрезке [0;
]
x
0
/6
/4
/3
/2
2
/3
3
/4
5
/6
y = sin x
0
2
1
71
,
0
2
2
87
,
0
2
3
1
87
,
0
2
3
71
,
0
2
2
2
1
0
И построим часть графика функции y=sin x
Учитывая, что функция y = sin x непрерывная, нечетная и периодическая с периодом 2
, построим её
график на всей числовой прямой.
рис. 14
1
0
2
2
3
2
3
y
x
1
0
2
x
y
рис. 13
8
Самойлова Л.В.
Теперь можно описывать свойства функции y = sin x:
1.
область определения – множество всех действительных чисел;
2.
множество значений: -1
y
1;
3.
функция нечетная, т. к. область определения симметрична относительно начала координат и
выполняется равенство sin(–x) = – sin x
4.
функция периодическая, наименьший положительный период Т
0
=2
, а общий период 2
n, где
n
Z, поэтому sin(x+2
n)=sin x;
5.
Пересечение с осями: OX (0+Пn;0)
OY (0;0)
1.
Для определения всех промежутков, на которых функция возрастает, поступим следующим
образом: выделим на графике один интервал ближе всего расположенный к оси ОY.
рис. 15
Это будет интервал:
2
2
x
Все промежутки возрастания с учетом периодичности функции sin x имеют вид:
Z
n
,
n
2
2
x
n
2
2
.
функция sin x возрастает при
Z
n
,
n
2
2
x
n
2
2
.
Аналогично определяются промежутки убывания функции:
функция sin x убывает при
Z
n
,
n
2
2
3
x
n
2
2
.
Продолжим описание свойств функции.
Аналогично определяются промежутки знакопостоянства функции.
7.
а) sin x > 0 при 0 + 2
n < x <
+ 2
n, n
Z
б) sin x < 0 при -
+ 2
n < x < 0 + 2
n, n
Z
8.
наибольшие и наименьшие значения функции
1
0
2
2
2
3
2
y
x
9
Самойлова Л.В.
а) max: y = 1 при
Z
n
,
n
2
2
x
.
б)
min: y = –1 при
Z
n
,
n
2
2
x
.
(Слайд №8)
2. Свойства и график функции y = cos x
Свойства:
1.
D(y) = R
2.
E(y) = [ -1; 1]
3.
Четная функция: cos( - x)=cos x; график – косинусоида, симметричен относительно оси
ординат(OY)
4.
Периодичная функция: cos(x± 2Пn) = cos x , T=2П
5.
Пересечение с осями:
OX (П/2+Пn;0)
OY (0;1)
6. Промежутки знакопостоянства:
cos x >0 при x є ( - П/2+2Пn; П/2+2Пn)
cos x <0 при x є ( П/2+2Пn; 3П/2+2Пn)
7. Промежутки монотонности:
cos x ↑ при x є [ -П+2Пn; 0+2Пn]
cos x ↓ при x є [ 0+2Пn; П+2Пn]
8. Экстремумы:
max: x= 0+2Пn y=1
min: x= П+2Пn y=-1
10
Самойлова Л.В.
4.
Закрепление нового материала.
(Слайд №9)
Задание №1:
Построить на одной координатной плоскости следующие графики:
1.
y= sin x
2.
y= sin x + 1 – параллельный перенос графика y=sin x вдоль оси Y на 1 ед. вверх
3.
y= 2 sin x – растяжение графика y=sin x вдоль оси Y в 2 раза
Задание №2:
(Слайд № 10)
Построить на одной координатной плоскости следующие графики:
1.
y= cos x
2.
y= cos 2x – сжатие графика y= cos x вдоль оси Х в 2 раза
3.
y= cos
𝑥
2
-
растяжение графика y= cos x вдоль оси Х в 2 раза
11
Самойлова Л.В.
5.Подведение итогов урока и домашнее задание:
(Слайд № 11)
Построить на одной координатной плоскости следующие графики:
1.
y= cos x
2.
y= cos x - 1
3.
y=
1
2
cos x
12
Самойлова Л.В.
Используемая литература:
Основные источники:
1.
Дадаян А.А. Математика: Учебник для среднего профессионального
образования – издательство «Форум», 2019 г.
2.
Дадаян А.А. Сборник задач по математике: Учебное пособие - издательство
«Форум», 2019 г.
3.
Богомолов Н.В. Практические занятия по математике – Москва « Высшая
школа», 2020 г.
4.
Пехлецкий И.Д. Математика: Учебник для среднего профессионального
образования – издательство центр «Академия», 2020г.
Дополнительные источники:
1.
Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Сборник дидактических заданий по
математике: Учебное пособие для средних специальных учебных заведений.
Издательство Дрофа, Москва, 2019 г.
2.
Балаян Э.Н. Математика. Учебное пособие. Издательство « Феникс», 2020 г.
3.
Филимонова Е.В. Математика. Учебное пособие для средних специальных
учебных заведений. Издательство « Феникс», 2020г.