Практикум по решению задач

Основное уравнение динамики

Причиной изменения состояния тела является сила, приложенная к нему.

Существуют следующие типы сил, встречающиеся в природе:

Сила тяжести. Эта сила приложена к центру тяжести тела и направлена к центру

Земли.

Сила реакции опоры

(противодействующая силе нормального давления). Это

форма сил упругости. Реакция опоры перпендикулярна к поверхности соприкосновения

тел. Зависимость реакции опоры от величины деформации в задачах обычно не

рассматривается.

Натяжение

нитей, веревок, тросов. Если тела связаны невесомой нитью, то

натянутая нить действует с одинаковыми силами как на одно, так и на другое тело. При

этом нить может быть перекинута через систему невесомых блоков. Обычно нить

считается

нерастяжимой

и

зависимость

натяжения

нити

от

деформации

не

рассматривается.

Сила трения. Эта сила направлена по касательной к поверхности соприкосновения

тел. При покое сила трения в зависимости от величины других сил, приложенных к телу,

может меняться от нуля до некоторого максимального значения. При скольжении сила

трения максимальна.

Перечисленные силы наиболее часто используются в задачах и примерах раздела

динамики.

Основные соотношения

1. Уравнение движения материальной точки (второй закон Ньютона):

в векторной форме

⃗

Δp

Δt

=

∑

i

=

1

N

⃗

F

i

,

или

m

⃗

a

=

∑

i

=

1

N

⃗

Fi ,

где

∑

i

=

1

N

⃗

Fi

- геометрическая сумма сил, действующих на материальную точку;

в координатной форме (скалярной):

ma

x

=

ΣF

xi

,

ma

y

=

ΣF

yi

,

ma

z

=

ΣF

zi

,

где под знаком суммы стоят проекции сил F

i

, на соответствующие оси координат.

2. Сила упругости: Закон Гука

F

упр

= -kx,

где k – коэффициент упругости (жесткость в случае пружины);

x – абсолютная деформация.

3. Сила гравитационного взаимодействия.

F

=

G

m

1

⋅

m

2

r

2

,

где G = 6,67·10

-11

н

⋅

м

2

кг

2

– гравитационная постоянная;

m

1

и m

2

– массы взаимодействующих тел, рассматриваемые как материальные

точки;

r – расстояние между ними.

4. Сила трения скольжения,

F

тр

= µN,

где µ – коэффициент трения скольжения,

N – сила нормального давления.

Основные типы задач и методы их решения

Определение силы по заданному закону движения.

Решение. Используется уравнение второго закона Ньютона.

1.

Определение ускорения, скорости и закона движения по заданным

силам.

Решение. Используется уравнение второго закона Ньютона.

2.

Определение ускорения, скорости и закона движения, а также сил в

системах тел, связанных между собой, если известны некоторые силы и кинематические

связи.

Решение. Используется уравнение второго закона Ньютона для каждого из тел

системы в отдельности, а также уравнения кинематических связей.

Примеры решения задач

Указание

При решении задач на динамику надо поступать следующим образом:

1.

Выяснить,

с

какими

телами

взаимодействует

рассматриваемое

тело.

Соответственно установить силы, действующие на это тело.

2. Написать уравнение движения тела в векторном виде. Если система, движение

которой рассматривается, состоит из нескольких связанных друг с другом тел, такое

уравнение пишется для каждого из тел в отдельности.

3. Перейти в каждом уравнении от векторов к их проекциям на оси, выбрав

соответствующим образом

направление. Может случиться, что для уравнений,

относящихся к разным телам, эти направления окажутся различными. Если направление

какого – либо вектора известно, его проекцию надо выражать через модуль вектора,

взятого с надлежащим знаком.

4. Решить систему получившихся скалярных уравнений.

Пояснение следующими примерами.

Пример 1

Система состоит из тел 1 и 2, связанных невесомой нерастяжимой нитью. Масса

тела 1 равна m

1

, тела 2 – m

2

. Нить может скользить без трения по направляющему желобу.

Трения между телом 1 и наклонной плоскостью, на которой оно лежит, нет. Плоскость

образует с горизонтом угол

a

. Найти ускорение тел 1 и 2.

1) Система, движения которой рассматривается, состоит из тел 1 и 2 и

связывающей их нити.

Тело 1 взаимодействует с нитью, с плоскостью и с Землей. Соответственно на него

действуют: сила натяжения нити

⃗

T

1

, сила реакции плоскости

⃗

N

и сила тяжести

m

1

⃗

g

. Нить невесома, поэтому она взаимодействует только с телами 1 и 2, а также с

желобом. Соответствующие силы равны -

⃗

T

1

и -

⃗

T

2

(эти силы на рисунке не показаны;

они противоположны по направлению силам

⃗

T

1

и

⃗

T

2

), кроме того, имеется сила,

распределенная по всей длине желоба.

x

N

1

⃗

T

1

⃗

T

2

x

'

m

1

α

m

1

⃗

g

m

2

m

2

⃗

g

Рис.7

Все элементы этой силы перпендикулярны нити и влияния на ее движение не

оказывают.

2) Уравнения движения тел 1 и 2 имеют вид

m

1

⃗

a

1

=

⃗

T

1

+

⃗

N

+

m

1

⃗

g ,

m

2

⃗

a

2

=

⃗

T

2

+

m

2

⃗

g

.

Масса нити равна нулю. Поэтому уравнение движения имеет вид: 0=0. Писать его

нет смысла.

Из невесомости нити вытекает, что модули сил

⃗

T

1

и

⃗

T

2

одинаковы. Обозначим

одинаковый модуль буквой Т. (Т

1

= Т

2

= Т). Из нерастяжимости нити следует, что

смещения, а, следовательно, скорости и ускорения тел 1 и 2 одинаковы по модулю.

3) Ускорение для тела 1 целесообразно, "спроектировать" на ось х, уравнение для

тела 2 – на ось х

´

. (см. рис. 7). При проектировании следует учесть, что а) проекция силы

⃗

N

на ось х равна нулю,

б) проекция силы

m

1

⃗

g

на ось х равна – m

1

g sin

a

,

в) проекция силы

⃗

T

1

на ось х равна Т

1

= Т,

г) проекция силы

⃗

T

2

на ось х равна - -Т

2

= - Т,

д) проекция силы

m

2

⃗

g

на ось х

´

равна m

2

g,

е) проекция ускорения

⃗

a

2

тела 2 на ось х´ (т.е.

a

2 x

'

) одинаковы и по модулю и

по знаку. Поэтому введем обозначения а

1х

= а

2х´

= а

х´

.

4) С учетом всего сказанного выше уравнения движения в проекциях можно

написать следующим образом:

m

1

a

1x

= T

1

– m

1

g sin

a

, или m

1

a

x

= T – m

1

g sin

a

,

m

2

a

2x´

= m

2

g – T

2

, или m

2

a

x

= m

2

g – T.

Решив совместно эти два уравнения, получим для а

х

значение

a

x

=

m

2

−

m

1

sin α

m

1

+

m

2

g

.

В зависимости от соотношения между массами m

1

и m

2

, а также от значения угла

a

,

проекция ускорения а

х

может оказаться либо положительной, либо отрицательной, либо

равной нулю.

В случае а

х

>

0 ускорение тела 1 направлено вдоль оси х вправо, ускорение тела 2

направлено вниз. В случае а

х

<

0

направления ускорений противоположны. Наконец, в

случае а

х

= 0 система либо покоится, либо движется равномерно в ту сторону, в какую ей

сообщат скорость.

y

N

F

Fтр

a

x

mg

Рис.8

Пример 2.

Груз массой 45 кг перемещается по горизонтальной плоскости под действием силы

294 Н, направленной под углом 30

0

к горизонту. Коэффициент трения груза о плоскость

0,1. Определить ускорение движения груза.

Дано:

F = 294 H;

m = 45 кг;

μ

= 0,1;

a

= 30

0

.

Найти:

а - ?

Решение:

Рассмотрим на чертеже все силы, действующие на тело:

m

⃗

g

- сила тяжести,

⃗

N

- сила нормальной реакции плоскости,

⃗

F

- сила тяги,

⃗

F

тр

- сила трения.

Рис.8

Запишем для данного уравнения второй закон Ньютона в векторной форме:

m

⃗

a

=

m

⃗

g

+

⃗

N

+

⃗

F

+

⃗

F

тр

(1)

Выбрав направление осей х и у, запишем векторное уравнение (1) в проекциях на

эти оси:

ma = F cos

a

- F

тр

(2) (на ось х)

0 = N + F sin

a

- mg

(3) (на ось у)

Из уравнения (3) находим: N = mg - F sin

a

, тогда сила трения равна

Fтр = μN = μ (mg - Fsin

a

),

подставляем в (2)

ma = Fcos

a

- μ (mg - Fsin

a

),

откуда находим ускорение:

a

=

F cos α

−

μ

(

mg

−

F sin α

)

m

=

294 Н

⋅

0 , 84

−

0,1

(

45

⋅

9,8

−

294 Н

⋅

0,5

)

45

=

5,9 м

/

с

2

Ответ: Ускорение движения груза а = 5,9 м/с

2

.