Автор: Золкина Светлана Олеговна
Должность: преподаватель
Учебное заведение: ГУАП ФСПО
Населённый пункт: Санкт-Петербург
Наименование материала: статья
Тема: "Решение простейших иррациональных неравенств"
Раздел: среднее профессиональное
Решение простейших иррациональных неравенств
Определение. Неравенства, содержащие неизвестное под знаком корня,
называются иррациональными.
Решение иррациональных неравенств, содержащих корень четной степени,
сводится к решению равносильной системы или совокупности систем
неравенств.
1.
√
f
(
x
)<
a
Если
a ≤ 0
, то неравенство не имеет решений.
Пример:
√
3
−
x
←
4
не имеет решений.
Если
a
>
0
, то
√
f
(
x
)<
a
⇔¿
{
f
(
x
)≥
0
¿ ¿ ¿
Пример:
√
3
−
x
<
4
{
3
−
x
≥
0
¿
¿ ¿ ¿
{
x
≤
3
¿
¿ ¿ ¿
−
13
<
x
≤
3
.
Ответ: (-13; 3].
2.
√
f
(
x
)>
a
Если
a
<
0
, то
√
f
(
x
)>
a
⇔
f
(
x
)≥
0 .
Пример:
√
3
−
x
>−
4
3
−
x ≥ 0
x ≤ 3
Ответ: (-∞; 3].
Если
a ≥ 0
, то
√
f
(
x
)>
a
⇔
f
(
x
)>
a
2
.
Пример:
√
3
−
x
>
4
3
−
x
>
4
2
x
←
13
Ответ: (-∞; -13).
***Решите неравенства:
А)
√
3 x
+
1≥ 2;
√
3 x
+
1
>−
2 ;
√
3 x
+
1≤ 2;
√
3 x
+
1≤
−
2 ;
√
3 x
+
1≤ 0 ;
√
3 x
+
1
>
0
.
Б
¿
√
x
2
−
3 x ≤ 2
.
3.
√
f
(
x
)>(
≥
)
√
g
(
x
)
⇔ ¿
{
g
(
x
)≥
0
¿
{
f
(
x
)>(≥)
g
(
x
) ¿ ¿ ¿
⇔¿
{
g
(
x
)≥
0
¿ ¿ ¿
Пример:
√
x
+
12
>
√
4
−
x
{
4
−
x
≥
0
¿
¿ ¿ ¿
{
x
≤
4
¿
¿ ¿ ¿
{
x
≤
4
¿
¿ ¿ ¿
−
4
<
x
≤
4
Ответ: (-4; 4].
***Решите неравенство:
√
3
−
x
<
√
3 x
−
5
.
4.
√
f
(
x
)<
g
(
x
)
⇔ ¿
{
g
(
x
)>
0
¿
{
f
(
x
)<
g
2
(
x
)
¿
¿ ¿
√
f
(
x
)
≤ g
(
x
)
⇔ ¿
{
g
(
x
)≥
0
¿
{
f
(
x
)≤
g
2
(
x
)
¿
¿ ¿
Пример:
√
x
+
3
<
x
+
1
{
x
+
1
>
0
¿
{
x
+
3
<(
x
+
1
)
2
¿
¿ ¿ ¿
{
x
>−
1
¿
{
x
2
+
x
−
2
>
0
¿
¿ ¿ ¿
{
x
>−
1
¿
{
x
<−
2 , x
>
1
¿
¿ ¿ ¿
Ответ: (1; +∞).
***Решите неравенство:
√
5 x
+
11
<
x
+
3
.
5.
√
f
(
x
)>(
≥
)
g
(
x
)❑
⇔
[
¿
]
Пример:
√
x
+
3 ≥ x
+
1
1)
{
x
+
1
<
0
¿
¿ ¿ ¿
{
x
<−
1
¿
¿ ¿ ¿
2)
{
x
+
1
≥
0
¿
¿ ¿¿
{
x
≥−
1
¿
¿ ¿ ¿
{
x
≥−
1
¿
¿ ¿ ¿
¿
⇒−
3
≤
x
≤
1 .
Ответ: [-3; 1).
***Решите неравенство:
√
x
2
+
4 x
>
2
−
x
.
Аналогично решаются неравенства вида
2n
√
f
(
x
)
≷
a
,
2n
√
f
(
x
)
≷
2n
√
g
(
x
)
,
2n
√
f
(
x
)
≷
g
(
x
)
, где
nєN.
Неравенства с нечетным показателем корня:
2n
+
1
√
f
(
x
)
≷
a
❑
⇔
f
(
x
)
≷
a
2n
+
1
2n
+
1
√
f
(
x
)
≷
2n
+
1
√
g
(
x
)
❑
⇔
f
(
x
)
≷
g
(
x
)
2n
+
1
√
f
(
x
)
≷
g
(
x
)❑
⇔
f
(
x
)
≷
g
2n
+
1
(
x
)
Пример:
3
√
x
−
2
<-3
𝑥
-2< -27
x< -25
Ответ: (-∞; -25)
6. Решите неравенство
√
x
+
3
>
x
+
1
графически.
В одной системе координат строим графики функций
y
=
√
x
+
3
,
y
=
x
+
1.
y
=
√
x
+
3
D(y)=[-3; +∞)
y
=
x
+
1
Найдите те значения х, при которых график
функции
y
=
√
x
+
3
расположен выше графика
функции
y
=
x
+
1
.
Ответ:[-3; 1).
x
-3
-2
1
y
0
1
2
x
-1
1
y
0
2