Технологическая карта урока

Модель урока математики: алгебра и начала математического анализа

Преподаватель: Белова Наталья Викторовна

Образовательное учреждение: ГАПОУ СО «Саратовский техникум отраслевых технологий» г.Саратов

Предмет: математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия

Учебный план: 4 часа в неделю

Учебник: Башмаков М.И. Математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования. —М., 2014.

Группа: 11

Тема: Логарифмы .Свойства логарифмов.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Оборудование:

Доска, проектор, компьютер,

презентация

«Логарифмы.

Свойства

логарифмов»,

карточки,

рабочие

листы,

рабочая

тетрадь ,лист самооценки ученика.

Цели (задачи) урока

образовательные:

Совершенствовать умение при выполнении действий с логарифмами.

Способствовать развитию математической речи, оперативной памяти, произвольного внимания, наглядно-действенного мышления.

воспитательные:

Воспитывать культуру поведения при фронтальной и индивидуальной работе, формирование положительной мотивации.

способность к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности.

развивающие:

- регулятивные УУД: умение определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя;

проговаривать последовательность действий на уроке;

работать по коллективно составленному плану;

оценивать правильность выполнения действия на уровне адекватной ретроспективной оценки;

планировать своё действие в соответствии с поставленной задачей;

вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учёта характера сделанных ошибок;

высказывать своё предположение.

- коммуникативные УУД: умение оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь других; совместно договариваться о

правилах поведения и общения в школе и следовать им.

- познавательные УУД: умение ориентироваться в своей системе знаний: отличать новое от уже известного с помощью учителя;

добывать новые знания: находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке.

Планируемые результаты обучения, планируемый уровень достижения целей

:

Вид планируемых

учебных действий

Учебные действия

Планируемый уровень достижения результатов

обучения

Предметные

Отработка умений систематизировать,

обобщать свойства логарифмов; при-

менять их при упрощении выражений.

1-2

уровень

—

понимание,

а д е к в ат н о е

у п о т р е б л е н и е

в

р е ч и ,

в ы б о р о ч н о

—

воспроизведение

Регулятивные

• самостоятельно ставят новые

учебные задачи путем задавания

вопросов о неизвестном

2 уровень — самостоятельное действие учащихся

по заданному алгоритму

• планируют собственную

деятельность, определяют средства

для ее осуществления

2

уровень—

совместное

с

учителем

действие

учащихся

на

основе

знания

видов

источников

информации и способов работы с ними

Познавательные

•извлекают необходимую информацию

из прослушанного материала

2

уровень

—

самостоятельное

выполнение

действий

в

условиях

взаимопомощи

и

взаимоконтроля

• структурируют информации в виде

записи выводов и определений

2 уровень — совместные действия учащихся в

условиях взаимопомощи и взаимоконтроля

Коммуникативные

• эффективно сотрудничать и

способствовать продуктивной

кооперации

1 уровень — выполнение действий по алгоритму

под управлением учителя

Личностные

умение правильно излагать свои

мысли, понимать смысл поставленной

задачи

2

уровень

—

самостоятельное

выполнение

действий с опорой на известный алгоритм

Карта урока.

Этап урока,

время этапа

Задачи этапа

Методы,

приемы

обучения

Формы

учебного

взаимодей-

ствия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Формируемые УУД и

предметные действия

Мотивационно-

целевой этап

• вызвать

эмоциональн

ый настрой и

познавательн

ый интерес к

теме;

•

организовать

самостоятель

ное

формулирова

ние вопросов

и постановку

цели

Формирован

ие информа-

ционного

запроса:

«РИСК»

Фронталь-

ная,

индивиду-

альная

1.Проводит

беседу

о

том,

н а с к о л ь к о

и н т е р е с н а

м а т е м а т и к а

п у т е м

исторического экскурса.

2. Предъявляет фразу с

информацией проблемного

характера.

3. Предлагает задать

вопросы, возникшие в связи

с данной информацией,

используя вопросительные

слова

1. Делятся мнениями на

поставленную проблему

2. Записывают информацию.

3. Формулируют и

записывают вопросы.

Личностные УУД:

проявлять интерес к

новому содержанию,

осознавая неполноту

своих знаний

Познавательные УУД:

формулировать

информационный

запрос

Регулятивные УУД:

определять цели

учебной деятельности

Ориентировоч-

ный этап

•

организовать

самостоятель

ное

планирование

и выбор

методов

поиска

информации

Беседа

фронталь-

ная

Задает вопрос о способах

получения нового знания,

необходимого для ответа на

возникшие вопросы,

предлагает способ и

последовательность

действий

Называют известные им

источники и методы поиска

информации и знакомятся с

предложенной учителем

последовательностью

действий

Регулятивные УУД:

планировать, т.е.

составлять план

действий с учетом

конечного результата.

Поисково-

исследователь-

ский этап

•

организовать

осмысленное

восприятие

Рассказ

Фронталь-

ная,

индивидуал

ьная

1. Сообщает 1 часть

информации по теме урока

2. Предлагает ответить на

вопросы, которые получены

1. Слушают новый материал.

2. Делают пометки, называют

вопросы и дают на них

Познавательные УУД:

извлекать необходимую

информацию из

прослушанных текстов;

новой

информации

из 1 части рассказа.

3. Сообщает 2 часть

информации. Предлагает

записать выводы и решить

уравнения.

4. Предлагает найти ответы

на вопросы в ходе

практической работы.

ответы.

3. Слушают, записывают и

решают.

4. Формулируют новые

вопросы по изучаемой теме.

структурировать знания;

Коммуникативные УУД:

вступать в диалог, с

достаточной полнотой и

точностью выражать

свои мысли.

Предметные УУД:

давать определения

новым понятиям темы;

называть способы

решения уравнения.

Практический

этап

• обеспечить

осмысленное

усвоение и

закрепление

знаний

Практи-

ческая

работа

Индиви-

дуальная,

фронталь-

ная

1. Дает задание для

учащихся №1, организует

обсуждение результатов ее

выполнения.

2. Дает задание для

учащихся № 2-6, организует

обсуждение ее результатов.

1. Выполняют задания,

сообщают о результатах.

2. Слушают объяснение

учителя.

3. Выполняют задания № 2,

сообщают о результатах.

Предметные УУД:

Различать способы

решения уравнений,

правильно

формулировать ход

решения уравнений,

находить неизвестные

компоненты, применять

на практике полученные

выводы

Познавательные УУД:

анализировать и

сравнивать объекты,

подводить под понятие;

Рефлексивно-

оценочный этап

• осмысление

процесса и

результата

деятельности

Беседа,пись

менное

высказыван

ие

Индиви-

дуальная,

фронталь-

ная

1. Предлагает оценить факт

достижения цели урока: на

все ли вопросы найдены

ответы.

2. Предлагает каждому

учащемуся высказать свое

мнение в виде 1 фразы:

1. Оценивают степень

достижения цели, определяют

круг новых вопросов.

2. Выборочно высказываются,

делятся друг с другом

мнением

Регулятивные УУД:

констатировать

необходимость

продолжения действий

Познавательные УУД:

решать различные виды

уравнений

телеграммы

Коммуникативные УУД:

адекватно отображать

свои чувства, мысли в

речевом высказывании

Ход урока.

Этапы урока

Деятельность

учителя

учащихся

Организационный

этап

Учитель приветствует учащихся, проверяет их готовность к уроку.

Учащиеся готовы к началу

работы.

Этап актуализация

знаний.

Учитель: Дорогие ребята! Я надеюсь, что этот урок пройдет интересно, с большой

пользой для всех. Очень хочу, чтобы те, кто еще равнодушен к царице всех наук, с

нашего урока ушел с глубоким убеждением: Математика – интересный предмет.

Эпиграфом урока будут слова Аристотеля « Лучше в совершенстве выполнить

небольшую часть дела, чем сделать плохо в десять раз более».

Как вы понимаете эти слова?

На доске вы видите Портрет Пифагора, ноты и логарифмы. Что их объединяет?

В своем стихотворении «Физики и лирики» поэт Борис Слуцкий написал.

Даже изящные искусства питаются ею.

Разве музыкальная гамма не есть набор передовых логарифмов?

– Кто догадался, какая тема сегодняшнего урока?

1.Анализируют эпиграф.

2.Учащиеся внимательно

смотрят на доску, отвечая

на вопрос.

3.Анализируют и отвечают

на вопрос.

Сообщение ученика.

4. Ребята объявляют тему

урока и записывают в ее

тетради.

Этап повторения

теоретического

материала.

Мы разделились на три подгруппы и у каждой подгруппы свое задание № 1 . Все

эти задания что от вас требуют вспомнить?

А теперь поменяйтесь работами внутри групп и проверьте себя (показ ответов на

закрытой доске)

Ребята, посмотрите на доску. Что мы теперь будем повторять?

Приступаем к заданию № 2.

Поменяйтесь работами внутри групп и проверьте себя (показ ответов на листке)

Анализируют и выполняют

задание № 1, отвечая на

вопрос учителя.

Смотрят ответы и проверя-

ют друг друга.

Отвечают на вопрос и вы-

полняют задание № 2, ис-

пользуя информацию на

доске.

Смотрят ответы и проверя-

ют друг друга.

Этап применения

знаний к выполнению

упражнений.

а) Показ задания 3 на доске

Вычислим устно и поставим в соответствии ответы.

б) Найдите ошибки (задание 4).

в) Теперь поработаем письменно и снова в группах. Есть желающие из группы

По очереди выполняют

задания и расставляют

ответы.

Проверяют по очереди

правильность выполненных

заданий.

выполнить у доски. (задание 5)

Выполняют задания в

группах. Один ученик из

каждой группы выполняет у

доски.

Физпауза

Показ упражнений.

Выполняют упражнение

Повторение свойств

логарифма.

Еще раз обращаю ваше внимание на свойства логарифма, которые мы сейчас

использовали при решении. Они вам понадобятся при выполнении сам.работы.

Читают формулы под

кометарии учителя по их

запоминанию.

Этап применения

знаний к выполнению

упражнений.

Вычислим, применяя свойства логарифмов ( индивид.задание 6)

Решают самостоятельно в

тетрадях.

Дополнительные

сведения о

логарифмах.

Софизи (от греч. sophisma — уловка, выдумка, головоломка), рассуждение,

кажущееся правильным, но содержащее скрытую логическую ошибку и

служащее для придания видимости истинности ложному утверждению.

Обычно софизм обосновывает какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или

парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым

представлениям (показ слайда 17).

Предлагаю вам проанализировать логарифмический софизм (показ слайда 18)

Начнем с неравенства

, бесспорно верного. Затем следует

преобразование

, тоже не вызывающее сомнений. Большему

значению соответствует больший логарифм, значит,

, т.е.

Слушают учителя и читают

с экрана.

Смотрят на экран и

слушают комментарии

учителя.

.

После сокращения на

, имеем 2>3.

Домашнее задание.

В папке для экзаменов

Тема: «Свойства логарифмов»



1-я группа- 1 вариант



2-я группа- 2 вариант



3-я группа- 3 вариант

Записывают домашнее

задание

Итог урока.

“Музыка может возвышать или умиротворять душу,

Живопись – радовать глаз,

Поэзия – пробуждать чувства,

Философия – удовлетворять потребности разума,

Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей,

а математика способна достичь всех этих целей”.

Так сказал американский математик Морис Клайн.

Ребята слушают и

анализируют.

Рефлексия.

Продолжить предложения, высказать свою точку зрения, о пройденном

занятии:

1 На занятии я работал…

2 Своей работой на занятии я…

3 Занятие для меня показалась…

4 Мое настроение…

5 Материал презентации мне был…

6 Я выполнял задания…

7 Я научился…

8 У меня получилось….

9 Я смог….

10 Мне захотелось…

Передайте свои тетради с самостоятельной работой на проверку. Занятие закончено.

Спасибо за работу.

Приложение 1.

Сообщение студента.

Открытие логарифмов было связано в первую очередь с быстрым развитием астрономии в 16 веке.

Термин «логарифм» предложил шотландский математик Джон Непер (1550 - 1617), первые логарифмические

таблицы составлены швейцарским математиком Бюрги (1552 – 1632 г.г.), термин «натуральный логарифм» принадлежит

немецкому математику Меркатору (1620 – 1687 г.г.), «мантисса», «основание» логарифма ввёл Леонард Эйлер (1707 –

1783 г.г.), который отметил, что логарифмирование – это действие, заключающееся в нахождении логарифма.

На мой взгляд, музыканты редко увлекаются математикой; большинство из них питают к этой науке чувство

уважения. Между тем, музыканты - даже те, которые не проверяют подобно Сальери у Пушкина «алгеброй гармонию», -

встречаются с математикой гораздо чаще, чем сами подозревают, и притом с такими «страшными» вещами, как

логарифмы.

Когда мы слышим игру музыкальных инструментов или пение артиста, мы не задумываемся о природе звука,

положенного

в

основу

любого

музыкального

действия.

Оказывается,

существует

наука

–

музыкальная

акустика,

объединяющая физику, музыку и математику.

Тон – важное понятие акустики, представляет собой непосредственное восприятие колебаний, возникающих при

звучании струны, голоса. Для того чтобы понять, как человек ощущает звук, начнем с описания уха. Оно по своему

устройству напоминает музыкальный инструмент. Одна из частей уха называется улиткой. Название вполне оправдано,

так как форма этой части уха действительно напоминает улитку. Она представляет собой спирально-закрученную трубку,

образованную из 2,5 витков.

Контур «улитки» среднего уха

можно соотнести с логарифмической спиралью в

математике.

Логарифмическая спираль является траекторией точки, которая движется вдоль равномерно вращающейся прямой,

удаляясь от полюса со скоростью, пропорциональной пройденному расстоянию. В логарифмической спирали углу

поворота пропорционально не само расстояние от полюса до точки кривой, а логарифм этого расстояния. На рисунке

видно, что эта спираль пересекает все прямые, проходящие через полюс под одним и тем же углом.

Первым

ученым,

открывшим

эту

удивительную

кривую,

был

Рене

Декарт

(1596-1650).

Особенности

логарифмической спирали поражали не только математиков. Ее удивительные свойства, в частности инвариантность

(сохранение угла), удивляют и биологов, которые считают именно эту спираль своего рода стандартом биологических

объектов самой разной природы.

На протяжении многих столетий пифагорова комма античной гаммы не давала покоя композиторам и музыкантам.

Ее распределение в музыкальной гамме было неравномерно и затрудняло модуляции (перевод мелодии из тональности в

тональность). Изобретались разные музыкальные системы, которые пытались решить эту проблему. Нужен был особый

подход, который должен был быть математически точным и музыкально приемлемым.

В начале 18 века, когда уже сложилась алгебра иррациональных величин, наметились пути решения этой старой

многотрудной проблемы. Работы немецких музыкантов Веркмайстера и Нейгарда дали начало ее решению и привели

впоследствии к созданию 12-звукового равномерно темперированного строя. В новом 12-ступенном строе октава стала

состоять из 12 равных полутонов.

Мы стали определять зависимость между частотами звуков строя. Пусть х – величина, показывающая, во сколько

раз частота верхнего звука больше частоты нижнего. Примем частоту самого нижнего звука октавы за 1. Известно, что

частота верхнего звука октавы больше частоты ее нижнего звука в 2 раза, а при переходе к каждому их 12 полутонов

частота увеличивается в х раз. Получаем уравнение

1 : x

12

=

1 :2 ; x

12

=

2; x

=

12

√

2

=

1,05947

. Полученное число называется

коэффициентом темперированного строя. С его помощью мы нашли частоты каждого звука музыкальной гаммы. Как

правило, музыканты настраивают свои инструменты по звучащему «ля» - 440 герц. Зная частоту звука «ля» и используя

k

=

12

√

2

, можно получить все частоты звуков первой октавы фортепиано. Например, частота звука «ля-диез» равна 440 *

1,059 = 466,16 герц, а «соль-диез» - 440 : 1,059 = 415,30 герц.

Итак, логарифмы отношений частот весьма точно совпадают с разделением октавы на интервалы, равные 1/12,

которые соответствуют полутонам. Таким образом, два равных полутона стали почти точно составлять целый тон.

Использование логарифмической шкалы дает возможность равномерно распределить пифагорову комму по всему

строю. Если разделить ее на 12 равных частей и распределить между 12 квинтами этого строя, то каждая квинта

уменьшится на 1/108 тона. Это совсем незаметно на слух и вполне приемлемо для музыкальных созвучий.

С помощью 12-ступенной шкалы можно построить интервалы, которые наиболее распространены в музыке.

Существует еще более мелкая единица – цент, равный одной сотой темперированного полутона или 1/1200 октавы.

Применение цента используется в музыкальных опытах, которые приводят к созданию все новых и совершенных

музыкальных инструментов.

Физик, профессор Эйхенвальд пишет в своей статье (она была напечатана в «Русском астрономическом календаре»

на 1919 год и озаглавлена «О больших и малых расстояниях»): «Товарищ мой по гимназии любил играть на рояле, но не

любил математики. Он даже говорил с пренебрежением, что музыка и математика не имеют друг с другом ни чего

общего. Правда Пифагор нашел какие-то соотношения между звуковыми колебаниями,- но ведь Пифагорова-то гамма и

оказалась неприемлемой для нашей музыки. Представьте, как не приятно был поражен мой товарищ, когда я доказал ему,

что, играя по клавишам современного рояля, он играет, собственно говоря, на логарифмах…»

Приложение 2.

Задание 1.

1

)

log

4

64 ;

7

)

log

8

32;

2

)

log

15

225 ;

8

)

log

10

10

√

1000 ;

3

)

log

10

10000 ;

9

)

3 log

5

3

√

25;

4

)

log

25

5 ;

10

)

1

2

log

5

625 ;

5

)

log

3

1;

11

)

log

9

log

4

64 ;

6

)

log

2

1

32

;

12

)

log

8

log

14

196

−

2

5

log

5

125 .

1

)

log

2

8 ;

7

)

log

27

81;

2

)

log

10

1000 ;

8

)

log

10

100

4

√

10

3

)

log

11

121 ;

9

)

log

5

5

√

125 ;

4

)

log

27

3 ;

10

)

1

4

log

9

81 ;

5

)

log

6

6 ;

11

)

log

2

log

9

3 ;

6

)

log

3

1

81

;

12

)

log

8

log

25

625

−

2

3

log

3

27 .

1

)

log

2

32 ;

7

)

log

25

125 ;

2

)

log

13

169 ;

8

)

log

10

1

10

√

1000 ;

3

)

log

10

100000 ;

9

)

15 log

5

5

√

25;

4

)

log

64

4 ;

10

)

2

3

log

2

128 ;

5

)

log

8

1;

11

)

log

27

log

2

8;

6

)

log

4

1

64

;

12

)

log

4

log

17

289

−

1

4

log

5

625 .

Приложение 3.

Задание 2.



log3324−log34.



log40

,

0625



log40

,

125

+

log40

,

5



log40,125+log40,5.



log0

,

250

−

log0

,

22

log0,250−log0,22.



log34−log312



log0

,

33

−

log0

,

310



log0,33−log0,310



log1

,

7528

+

log1

,

752

−

log1

,

7532



log1,7528+log1,752−log1,7532

Приложение 4.

Задание 5.

Вычислить:3 log32−log372

.

Приложение 5.

Задание 6.

1 вариант

1.

.

Вычислите

log

9

1

81

.

2.

Вычислите

log

2

8

.

3.

Вычислите

lg 10000

.

4.

Вычислите

log

0,2

5

.

5.

Найдите значение выражения

log

12

48

+

log

12

3

.

6.

Вычислите

log

11

484

−

log

11

4

.

2 вариант.

1.

Вычислите

log

2

1

8

.

2.

Вычислите

log

5

25

.

3.

Вычислите

lg 1000

.

4.

Вычислите

log

0,2

25

.

5.

Найдите значение выражения

log

15

25

+

log

15

9

.

6.

Вычислите

log

13

338

−

log

13

2

.

3 вариант

1.

Вычислите

log

2

1

4

.

2.

Вычислите

log

2

8

.

3.

Вычислите

lg 0, 001

.

4.

Вычислите

log

0,5

2

.

5.

Найдите значение выражения

log

12

16

+

log

12

9

.

6.

Вычислите

log

11

363

−

log

11

3

.

7.

Вычислите

7

log

7

24

.