Автор: Микова Ольга Валерьевна
Должность: учитель математики
Учебное заведение: МБОУ "Гимназия №2"
Населённый пункт: города Мурманска
Наименование материала: презентация
Тема: Методы решения показательных уравнений и неравенств
Раздел: полное образование
LOGO
Методы решения
показательных
уравнений и
неравенств
Микова О.В.
учитель математики
МБОУ г. Мурманска
«Гимназия №2»
Решение показательных
уравнений
Метод введения новых
переменных
0
81
2
36
5
16
3
x
x
x
.
Решение. Перепишем уравнение в виде
0
9
2
9
4
5
4
3
2
2
x
x
x
x
и заметим, что оно является однородным уравнением второй
степени.
Разделим уравнение на 4
2x
, получим
,
0
4
9
2
4
9
5
3
2
x
x
Заменим
0
4
9
t
x
, 2t
2
– 5t +3 = 0 , где t
1
= 1, t
2
=
2
3
.
5
,
0
,
1
2
2
3
2
3
,
2
3
4
9
,
0
4
9
1
4
9
2
0
x
x
x
x
x
x
Ответ: 0; 0,5.
Метод введения новых
переменных
Решение: Используя свойства степени, запишем данное
уравнение в виде
Пусть , тогда
С учетом условия , получаем
Ответ: 1.
Метод введения новых
переменных
Решение: Используя свойства показательной функции, преобразуем
данное уравнение
Полагаем , приходим к квадратному уравнению
Корни данного уравнения . Возвращаясь к переменной , получаем
Ответ: .
Метод разложения на
множители
.
3
2
2
2
3
3
1
1
2
x
x
x
x
x
x
x
Решение. Преобразуем члены уравнения и перегруппируем слагаемые
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3
2
3
1
2
0
2
1
3
0
2
0
2
1
3
2
;
0
2
2
1
2
3
;
0
2
2
2
3
3
;
3
2
2
2
2
3
3
3
1
1
1
2
1
1
1
1
2
x = -2 – корень уравнения.
Уравнение x + 1 =
x
3
2
3
можно решить либо методом оценки, либо графически.
x = 1 – второй корень исходного уравнения.
Ответ: 1; -2.
Метод разложения на
множители
Решение:
Вынесем за скобки
Ответ: 7.
Решение уравнения вида
Решение: Обе части уравнения положительны,
поэтому можно прологарифмировать обе части
уравнения по основанию 4:
Таким образом
Ответ:
Показательно – степенные
уравнения
.
1
3
8
2
2
x
x
x
Решение. x
2
+2x-8 – имеет смысл при любых x , т.к. многочлен, значит уравнение
равносильно совокупности
.
0
3
,
0
8
2
,
1
3
1
)
3
(
2
8
2
2
x
x
x
x
x
x
x
.
2
,
2
,
3
2
,.
4
,
2
x
x
x
x
x
x
Ответ: -2; 2.
Использование свойств
функций
.
3
2
1
x
x
Решение. Перепишем уравнение в виде
3
2
1
x
x
.
Если x = -1, то
3
1
2
1
1
, 3 = 3-верно, значит x = -1 –
корень уравнения.
Докажем, что он единственный.
Функция f(x) =
x
2
1
- убывает на R, и g(x) = -x – убывает на
R=> h(x) = f(x) + g(x) – убывает на R, как сумма убывающих
функций. Значит по теореме о корне, x = -1 – единственный
корень уравнения.
Ответ: -1.
Функционально-графический
метод
Решение: Рассмотрим
функции и . Функции определены
на . Функция y возрастает,
функция убывает. Значит,
уравнение имеет не более одного
корня.
является корнем указанного
уравнения.
Ответ:
Решение показательных
неравенств
Приведение к одному
основанию
Решение: Запишем неравенства в виде
Разделив обе части неравенства на , получим неравенство
Обозначим , получим
Т. к. , то .
Следовательно, исходное неравенство равносильно неравенству
Функция монотонно убывает, поэтому
Ответ: .
Решение неравенств вида .
если , то решений нет;
если то ;
если то .
Решение неравенств вида .
если , то ;
если то
если , то .
Решение неравенств вида
Решение:
Функция монотонно убывает, поэтому
Ответ: .
Решение неравенств вида
Решение: ОДЗ:
Функция монотонно убывает, поэтому
Решая неравенство методом интервалов, получим:
Ответ:
.
Решение неравенств вида
если , то ;
если , то .
Решение: Т. к. функция монотонно убывает,
то данное неравенство равносильно
неравенству
Ответ:
.
Решение неравенств вида
если , то ;
если , то .
Решение: Т. к. функция монотонно убывает, то
данное неравенство равносильно неравенству
Ответ: .
Решение неравенств вида
если , то ;
если , то .
Решение: Обе части неравенства положительны при любом
значении . Прологарифмировав обе части неравенства по
основанию 3б получим неравенство
равносильное исходному. Таким образом
Отсюда с учетом того, что , находим решение исходного
неравенства
Ответ: .
Метод замены переменной
Решение: Преобразуем данное неравенство
Обозначив , получим
Т. к. , то .
Следовательно, исходное неравенство
равносильно неравенству
Ответ: .
Метод замены переменной
Решение: ОДЗ: .
Пусть , тогда
Ответ: .
Метод замены переменной
Решение: Исходное неравенство можно записать в виде:
Разделим обе части неравенства на положительную величину . Получим
равносильное неравенство
Обозначив получаем
Получаем
Т.к. , то .
Ответ: .
Графический метод
Решение: Рассмотрим
функции и . Функции определены на .
Функция возрастает, функция
убывает. Значит, уравнение имеет не
более одного решения. Несложно
заметить, что является корнем
указанного уравнения.
Следовательно, решением неравенства
является
Ответ:
Список литературы
Сканави М.И. Математика. Издатель В.М.Скакун, 1997 г.
Шабунин М.И. и др. Алгебра и начала анализа. Дидактические
материалы для 10 – 11 классов. М. Мнемозина, 2000 г.
Кривоногов В.В. Нестандартные задания по математике. М.
«Первое сентября», 2002 г.
Черкасов О.Ю. Якушев А.Г. Математика. Справочник для
старшеклассников и поступающих в вузы. «А С Т -пресс
школа», 2002 г.
Денищева Л.О. и др. Учимся решать уравнения и
неравенства.М. «Интеллект – Центр», 2003 г.
Денищева Л.О. и др. Учебно – тренировочные материалы для
подготовки к ЕГЭ.М. «Интеллект – центр», 2003 г. и 2004 г.
Ященко И.В., Волчкевич М.А., Высоцкий И.Р., Гордин Р.К. ЕГЭ
2021, Математика, Профильный уровень, 36 вариантов,
Типовые варианты экзаменационных заданий; под ред. И. В.
Ященко. - М.: издательство «Экзамен», 2021