государственное автономное профессиональное образовательное учреждение

Челябинской области «Политехнический колледж»

Решение показательных уравнений

и неравенств

Методическая разработка урока

теоретического обучения по математике

Автор:

О.М. Распопова

преподаватель математики

ГАПОУ ЧО ПК

Магнитогорск, 2022

Методическая разработка урока

1.

Тема урок: Решение показательных уравнений и неравенств.

2.

Тип урока: Контроль и коррекция знаний и умений.

3.

Форма урока: Практическое занятие.

Параметры качества обучения







II

II

II

4.Цели учебного занятия

Методическая:

мультимедийное сопровождение урока теоретического

обучения.

Воспитательная:

развитие логического мышления,

алгоритмической

культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для продолжения

образования и самообразования;

овладение математическими знаниями и

умениями,

необходимыми

для

освоения

смежных

естественно-научных

дисциплин и дисциплин профессионального цикла.

Развивающая:

умение продуктивно общаться и взаимодействовать в

процессе

совместной

деятельности,

способность

и

готовность

к

самостоятельному поиску методов решения практических задач, применению

различных методов познания; владение навыками познавательной рефлексии как

осознания совершаемых действий и мыслительных процессов, их результатов и

оснований, границ своего знания и незнания, новых познавательных задач и

средств для их достижения; целеустремленность в поисках и принятии решений.

Обучающая: владение стандартными приемами решения рациональных и

показательных уравнений и неравенств; использование готовых компьютерных

программ для иллюстрации решения уравнений и неравенств; систематизация

знаний о способах решения показательных уравнений и неравенств.

5. Методическая характеристика урока

Метод

Методический приём

Средства обучения

Методы

стимулирования и

мотивации интереса к

учению.

Создание ситуаций

познавательной новизны,

позитивного фона занятия,

способствующего

достижению цели

учебного занятия,

ориентация на успех.

Беседа о значимости

темы учебного занятия в

осмыслении всего

учебного предмета.

Поощрение в учении.

Словесный.

Проблемная беседа.

Комментарии студентов.

Инструктаж по

выполнению

практической работы.

1) Учебник

«Математика: уч. для

студ.учреждений СПО»

под ред.М.И. Башмакова

2) Указания по

выполнению

практической работы

Наглядно-

демонстрационный.

Использование средств

ИКТ.

Таблица степеней.

Презентация по теме:

«Решение

показательных

уравнений и

неравенств».

Практический.

Решение практических

заданий.

Карточки-задания

Методы контроля.

Входной контроль.

Текущий контроль.

Взаимоконтроль

Итоговый контроль.

Вопросы входного,

текущего, итогового

контроля, тест, эталоны

ответов.

6. Ход урока

№ и название

этапа

Дидактические задачи урока

Деятельность преподавателя

Виды и содержание цифровых

образовательных ресурсов (слайд-

фото, -рисунок, -текст, -схема, -

таблица, электронный учебник,

видеофильм, трансляция on-line и

др. электронный тест)

Деятельность учащихся

1

2

3

4

5

I.Орг. этап.

Подготовка учащихся к

работе на уроке.

Предъявление единых педагогических

требований:

-

приветствие;

-

выявление отсутствующих на уроке;

-

проверка внешнего вида

(соответствие требованиям

внутреннего распорядка колледжа).

Отвечают на приветствие.

Дежурный докладывает о

явке учащихся на занятие.

Приводят в соответствие с

требованиями внешний вид,

рабочее место.

Психологическая

установка на восприятие

материала урока.

Организация внимания и готовности

учащихся к уроку (устранение

отвлекающих факторов: посторонний

шум, лишние предметы на рабочем

месте).

Готовятся к восприятию

урока.

II. Вводный

этап.

Подготовка к основному

этапу урока.

Мотивация. Обеспечение

возникновения у

учащихся мотива –

внутреннего побудителя

деятельности,

придающего ей

личностный смысл и

соответствующего

требованиям учения и

будущей профессии.

-Стандартом среднего

профессионального образования

предусмотрена сдача экзамена по

математике в конце II курса, в

котором всегда представлены

задания на тему нашего

сегодняшнего занятия.

Воспринимают информацию.

Осмысливают значимость

материала данного урока.

Сообщение

темы.

Запишите тему урока: "Решение

показательных уравнений и

неравенств".

Слушают название темы.

Записывают в тетрадях дату,

номер и тему урока.

Постановка

цели.

Обеспечение

самоосмысления через

постановку цели.

-Сегодня у нас с вами практическое

занятие, на котором мы обобщим и

систематизируем знания о

показательной функции, видах и

способах решения показательных

уравнений и неравенств и закрепим

применение стандартных способов

решения показательных уравнений и

неравенств при выполнении

практической работы.

Учащиеся осмысливают и

записывают цель в терминах

«знать», «уметь».

Входной

контроль.

Актуализация опорных

знаний.

Реализация внутрипред-

метных связей (материал

предыдущих уроков).

-Прежде чем выполнять

практическую работу, вспомним

теоретические основы для её

выполнения. В рабочих тетрадях

отвечаем на теоретические вопросы

(вместо многоточия записываем

только пропущенное слово или

формулу). Время выполнения 3- 4

мин.

На экране представлены вопросы:

1.Функция вида у=… называется

показательной.

2.При а>1 функция ….

3.При 0< а <1 функция …..

a

x

=

b

4.Уравнение вида

называется…

5.При решении показательных

уравнений применяют методы: ….

6.Решение показательных неравенств

основано на свойстве ….. функции.

Студенты читают вопросы

теста на экране и записывают

ответы в тетради.

7. Продолжите основные свойства

степени, которые используются при

решении показательных уравнений и

неравенств :

a

n

+

m

=

. . .

a

−

n

=

. . .

Коррекция

опорных

знаний.

Выявление пробелов и

внесение исправлений,

поправок в опорных

знаниях учащихся.

-Обменяйтесь с соседом по парте

тетрадкой и проверим правильность

ваших ответов.

Разбор вопросов, вызвавших

затруднения. Доведение до К

у

=0,7

опорных знаний.

- Выставьте оценку: оценке: «5»

соответствует 7 правильных ответов,

«4»- 6 правильных ответов, за 5

правильных ответов – «3», менее

пяти правильных ответов – оценка

«2».

Слайды с правильными

ответами на каждое задание.

Сравнивают ответы с

эталонами, задают вопросы,

оценивают работу.

Организация взаимопомощи.

Сильные помогают более

слабым.

III.Формир

ование

ориентиро-

вочной

основы

учебной

деятельнос-

ти.

Обеспечение восприятия

и осмысления способов

действий (алгоритмов,

методов, особенностей).

- Результаты показали, что в ваших

знаниях есть пробелы. Поэтому

выполним следующее задание: по

цепочке, начиная с первого ряда,

читаем функцию, определяем её

возрастание или убывание, аргумен-

тируем.

Учащиеся устно выполняют

задание.

-Вспомним алгоритмы решения

простейших показательных уравнений

и неравенств.

Анализируют и осмысливают

полученную информацию.

-Устный счет: способ уравнивания

оснований, пользуемся таблицей

степеней. Отвечают студенты, по

цепочке, второго ряда.

Читают, осмысливают

полученную информацию,

проговаривают действия

производимые при решении

показательных уравнений и

неравенств.

-Работаем у доски, остальные в

тетради.

Записывают решения в

тетрадь, вызванные работают

у доски, проговаривая ход

решения.

-Мы повторили способ уравнивания

оснований. Когда его невозможно

применить используют способ

замены. На слайде даны уравнения,

прежде чем делать замену нужно

воспользоваться свойствами

степеней. Назовите каким? При

помощи уже данной замены

показательное уравнение приводится

к алгебраическому. Назовите

пропущенные коэффициенты, вид

полученного уравнения и способ его

решения.

Отвечают на вопрос.

Называют коэффициенты,

вид полученного уравнения и

способ его решения.

Коррекция

знаний

ориентиров

очной

основы

действий

Выявление пробелов и

исправление ошибок в

понимании

ориентировочной основы

действий.

Организация взаимопомощи.

Определяют и восполняют

пробелы в знаниях. Задают

вопросы.

Сильные помогают более

слабым.

Контроль

уровня

полученны

х знаний.

-На сколько вы готовы к выполнению

практической работы покажет вам

ребус: путем решения уравнений и

неравенств, полученный ответ

находим в таблице, кодируем его

буквой и составляем слово. Время

выполнения 4 мин.

Выполняют в тетрадях

решение уравнений и

неравенств, кодируют ответ

буквой.

-4 минуты прошло, полученное слово?

y

=

u

v

Верно, это немецкий

математик Готфрид Лейбниц,

который ввёл показательную

функцию в общем виде

А теперь сравните свои ответы с

эталоном (см. Приложение А).

Организация самоконтроля.

Запишите на полях количество

верных решений.

Отвечают: Лейбниц.

Читают историческую

справку. Сравнивают своё

решение с эталоном.

Разбор вопросов, вызвавших

затруднения. Доведение до К

у

=0,7

опорных знаний.

IV.

Основной

этап работы.

Самостоя-

тельная

работа

учащихся по

применению

полученных

знаний.

Обеспечение

самореализации через

саморегуляцию и

самоосмысление.

Обеспечение усвоения

новых знаний и способов

действий на уровне

применения в знакомой и

измененной ситуации.

Студентам выдаются указания по

выполнению практической работы

(см. Приложение В).

Самостоятельное выполнение

заданий с применением знаний в

знакомой и измененной

ситуациях.

Целевые обходы

Первый обход: проверить правильность

выполнения заданий; особое внимание

обратить на слабых учащихся;

Второй обход:

проверить правильность

ведения самоконтроля;

Третий обход:

проверить правильность

выполнения заданий.

Принять,

оценить

и

выдать

дополнительно

задания

наиболее

успевающим учащимся;

Четвертый

обход:

прием практической

работы, оценивание.

Самоконтроль.

Самокоррекция.

Самооценка.

Развитие творческих

способностей.

Саморегуляция.

V.

Заключитель

ный этап

урока.

Анализ и оценка

успешности достижения

цели урока.

1. Подвести итоги за день. Анализ

работы каждого учащегося.

2. Сообщить оценку качества работы

каждого учащегося.

3. Отметить, кто добился отличного

качества работы.

4.

Разобрать

наиболее

характерные

недочеты в работе студентов и

рекомендации по их устранению.

Самоанализ выполненной

работы.

Самокоррекция.

Самооценка.

Развитие творческих

способностей.

Саморегуляция.

Мотивация. Формирование у

студентов ориентации на

успех.

Поощрение студентов в процессе

достижения ими поставленной цели (в

т.ч. слабых).

Самоактуализация

Саморегуляция через

достижения цели.

Домашнее

задание.

Обеспечение понимания

цели домашнего задания.

Обеспечение понимания

содержания и способов

выполнения домашнего

задания.

-Устно: определите знак корня

уравнения?

Домашнее задание:

1. Решить уравнения:

а) (1/5)

х

= 10;

б) 0,4

х

= 0,1;

в) 2,1

х

= 4;

г) 0,6

х

= 3.

2. Повторить таблицу степеней.

Устно, под руководством

преподавателя определяют

знак корня уравнения.

Самоосмысливают способы

выполнения домашнего

задания.

Постановка

новой

цели к

следующе-

му уроку.

Создание мотивации

через анализ результатов

достигнутого, развивает

аналитико –

синтетическую

деятельность учащихся.

- Тема следующего занятия:

«Логарифмы».

Мы начнем изучать новый для вас вид

чисел и соответствующие им

функции, уравнения и неравенства.

Самоосмысление

информации о задачах на

ближайший урок.

Приложение А

Эталоны решений заданий ребуса

1

)

5

х

=

1

125

5

х

=

5

−

3

х

=−

3

−

л

2

)

(

1

3

)

х

≤

(

1

3

)

4

х

≥

4

−

е

3

)

7

1

−

х

=

1

49

7

1

−

х

=

7

−

2

1

−

x

=−

2

−

x

=−

2

−

1

−

x

=−

3

х

=

3

−

й

6

)

10

−

х

=

10000

7

)

9

х

≥

(

1

27

)

2

+

x

10

−

х

=

10

4

(

3

2

)

х

≥

(

3

−

3

)

2

+

x

−

x

=

4

3

2 х

≥

3

−

6

−

3 x

х

=−

4

−

и

2 x

≥−

6

−

3 x

2 x

+

3 x

≥−

6

5 x

≥−

6

x

≥−

6

5

[−

6

5

;

+∞)−

ц

Приложение В

Практическая работа по теме «Решение показательных уравнений и неравенств»

Цель: владение стандартными приемами решения рациональных и показательных уравнений и

неравенств; систематизация знаний о способах решения показательных уравнений и неравенств для

подготовки к итоговой аттестации по математике.

Выполнив данную работу, Вы будете:

знать:



определение понятия «показательное уравнение», «показательное неравенство»;



методы решения показательных уравнений и неравенств;

уметь:



решать показательные уравнения и неравенства различными методами.

Теоретические основы

Показательными уравнениями называются уравнения вида a

f(x)

= a

g(x)

(где a>0, a≠1) и уравнения,

сводящиеся к этому виду

.

1 тип показательных уравнений:

Вам понадобятся следующие свойства степеней:

a

f

(

x

)

=

b

b

>

0

b

≤

0

a

m

⋅

a

n

=

a

m

+

n

,

a

m

: a

n

=

a

m

−

n

(

a

≠

0

)

,

(

a

m

)

n

=

a

m

⋅

n

,

a

1

=

a ,

a

0

=

1 ,

a

−

n

=

1

a

n

,

√

a

=

a

1

2

,

n

√

a

m

=

a

m

n

Таблица степеней

a

a

0

a

1

a

2

a

3

a

4

a

5

a

6

a

7

a

8

a

9

a

10

2

1

2

4

8

16

32

64

128

256

512

1024

3

1

3

9

27

81

243

729

2187

4

1

4

16

64

254

102

4

4096

5

1

5

25

125

625

312

5

6

1

6

36

216

1296

7

1

7

49

343

2401

8

1

8

64

512

4096

9

1

9

81

729

6561

2 тип показательных уравнений:

3 тип показательных уравнений:

3

х+1

– 3

х

= 18;

3

х

·3

1

– 3

х

= 18;

3

х

(3

1

– 1) = 18;

3

х

· 2 = 18 | :2

3

х

= 9;

3

х

= 3

2

;

х = 2. - корень

Ответ: 2

9

х

- 8·3

х

- 9 = 0

(3

х

)

2

- 8 · 3

х

- 9 = 0

Замена 3

х

= у, у > 0

.

y

2

- 8 · y - 9 = 0

D

=

b

2

−

4 ac

=

(

−

8

)

2

−

4

⋅

1

⋅

(

−

9

)

=

100

y

1,2

=

−

b

±

√

D

2 a

=

8

±

√

100

2

=¿

[

9 ,

[−

1 не

удовл .

усл .

у

>

0

[

Вернёмся к замене:

3

х

= 9

3

х

=3

2

х =2 – корень.

Ответ: 2

Решений нет

Показательными неравенствами называются неравенства вида a

f(x)

> a

g(x)

(где a>0, a≠1) и

неравенства, сводящиеся к этому виду.

Решение простейших показательных неравенств основано на монотонности функции у = а

х

:

функция возрастает при a >1 и

убывает при 0<a<1.

1 тип показательных неравенств:

2 тип показательных неравенств:

3 тип показательных неравенств:

2

х

+

2

х+1

> 3.

Пользуясь свойством

,

перепишем заданное неравенство в виде

2

х

+ 2

х

· 2

1

> 3.

Вынесем в левой части за скобки 2

х

, а затем

разделим обе части неравенства на число,

полученное в скобках:

2

х

(1 +2

1

) > 3

2

х

· 3 > 3 | : 3

2

х

> 1

2

х

> 2

0

, т.к. 2>0, то знак неравенства

сохраняется

х > 0.

Ответ:

х

∈

(

0 ;

+∞

)

9

х

- 8·3

х

- 9 > 0

(3

х

)

2

- 8 · 3

х

- 9 = 0

Замена 3

х

= у, у > 0

.

y

2

- 8 · y - 9 > 0

D

=

b

2

−

4 ac

=

(

−

8

)

2

−

4

⋅

1

⋅

(

−

9

)

=

100

y

1,2

=

−

b

±

√

D

2 a

=

8

±

√

100

2

=¿

[

9 ,

[−

1

[

y

∈

(

−∞

;

−

1

)

∪

(

9 ;

+∞

)

Сейчас неравенство решено относительно переменной «у», а ответ записывается

относительно переменной «х», поэтому учитываем, что по условию замены у > 0

и для дальнейшего решения выбираем второй промежуток

y

∈

(

9;

+∞

)

.

Вернёмся к замене 3

х

= у, где у = 9:

3

х

= 9

3

х

=3

2

х =2.

Видоизменяем промежуток с учетом замены:

x

∈

(

2 ;

+∞

)

.

Ответ:

x

∈

(

2 ;

+∞

)

.

n

m

n

m

a

a

a







Задания практической работы

Задание 1. Решите показательные уравнения методом уравнивания показателей:

1 вариант

2 вариант

1

)

6

3 x

=

216

2

)

(

3

8

)

8

−

2 x

=

1

3

)

2

x

−

1

+

2

x

+

3

=

17

1

)

5

3 x

=

125

2

)

(

1

4

)

8

−

2 x

=

1

3

)

5

x

+

1

−

5

x

−

3

=

624

Задание 2. Решите показательные неравенства методом уравнивания показателей:

1 вариант

2 вариант

1

)

64

3 x

−

4

≤

1

8

2

)

2,3

x

2

−

36

≥

1

1

)

(

1

6

)

3

−

2 x

≥

36

2

)

8

x

2

−

8,5

≤

√

8

Дополнительные задания

Задание 3. Решите показательные уравнения методом введения новой переменной:

1 вариант

2 вариант

(

1

4

)

2 x

−

(

1

4

)

x

−

12

=

0

(

1

3

)

2 x

−

(

1

3

)

x

−

6

=

0

Задание 4. Решите показательные неравенства:

1 вариант

2 вариант

3

2 x

−

4

⋅

3

x

+

3

<

0

7

2 x

+

6

⋅

7

x

−

7

>

0

Нормы оценивания:

оценка "3"- верно выполненные задания 1-2;

оценка "4"- верно выполненные задания 1-3;

оценка "5"- верно выполненные задания 1-4.

Эталоны ответов:

Задание 1. Решите показательные уравнения методом уравнивания показателей:

1 вариант

2 вариант

1

)

x

=

1

2

)

x

=

4

3

)

x

=

1

1

)

x

=

1

2

)

x

=

4

3

)

x

=

3

Задание 2. Решите показательные неравенства методом уравнивания показателей:

1 вариант

2 вариант

1

) (−∞

;

7

6

]

2

) (−∞

;

−

6

]∪[

6;

+∞)

1

) [

2,5 ;

+∞)

2

)

[

−

3 ;3

]

Дополнительные задания

Задание 3. Решите показательные уравнения методом введения новой переменной:

1 вариант

2 вариант

x

=−

1

x

=−

1

Задание 4. Решите показательные неравенства:

1 вариант

2 вариант

x

∈

(

0 ; 1

)

x

∈

(

0 ;

+∞

)