Л. А. Винникова

Комбинаторные задачи как средство развития мышления учащихся.

Математика даёт широкие возможности для формирования таких психологических

характеристик личности как подвижность и гибкость мышления: в ней существует целый ряд

задач, направленных на поиски выхода из различных нестандартных ситуаций. Стохастика в

учебниках математики представлена в виде элементов комбинаторики, теории графов,

наглядной и описательной статистики, начальных понятий теории вероятности. Знакомство с

основными понятиями стохастики необходимо для того, чтобы мы могли познавать

окружающий мир и создавать одну из научно обоснованных картин этого мира. Применение

комбинаторики в естествознании, технике, экономике, медицине, лингвистике и т.д.

приобретает все возрастающее значение. Комбинаторные способы рассуждения играют

важную роль в общей структуре научного мышления. На основе комбинаторного анализа

ученики

приобретают

способность

устанавливать,

рассматривать

и

учитывать

все

возможные варианты сочетания каких-либо признаков или событий. Деятельность учащихся

в ходе обучения организуется на основе сознательной ориентировки в изучаемом материале.

Действия

комбинаторного

анализа

выполняются

при

опоре

на

схему

полной

ориентировочной

основы

действия,

представленную

в

наглядной

форме.

Решение

комбинаторных задач требует поэтапной отработки универсальных учебных действий,

обеспечивающей последовательный переход от выполнения учеником действия с опорой на

наглядность к умственной форме через выполнение действия в речевой форме, а затем и во

внутренней речи («про себя»). Использование комбинаторики при решении задач позволяет

расширить знания детей о задаче, познакомить с новым способом действий; формирует

умения принимать решения, оптимальные в данном случае, развивает элементы творческой

деятельности. Комбинаторные задачи, предлагаемые в начальных классах, как правило,

носят практическую направленность и основаны на реальном сюжете. Система упражнений

строится таким образом, чтобы обеспечить постепенный переход от манипуляции с

предметами к действиям в уме.

Для формирования комбинаторных понятий эффективны занятия в групповой форме.

Для этого все ученики класса разбиваются на группы, число учащихся в которых может

изменяться – от минигруппы в 2-3 человека до 6-7 человек. Группы образуются для того,

чтобы в процессе совместного решения задачи все ученики имели возможность высказывать

своё мнение, сравнивать разные точки зрения, активно обсуждать способы решения и

аргументировать свою позицию, проводить взаимную проверку и оценивание.

Развивать комбинаторное мышление позволяет решение задач с альтернативным

условием.

При

их

решении

учащиеся

находят

несколько

вариантов

условия

и

соответственно несколько вариантов решения. Комбинаторика применяется на этапе поиска

плана решения текстовых задач с числовыми данными.

Задача. Перед ареной цирка в первом ряду сидят 20 бабушек. Это в 2 раза больше,

чем девочек, на 4 меньше, чем мальчиков, и в 10 раз больше, чем дедушек. Сколько бабушек,

девочек и мальчиков сидят в первом ряду перед ареной?

Используя перестановку из трёх элементов, учащиеся находят шесть способов

решения задачи.

Непосредственный перебор всех возможных вариантов при решении комбинаторных

задач в некоторых случаях может быть затруднён. Облегчить процесс нахождения этих

вариантов можно, научив детей пользоваться такими средствами перебора, как таблицы и

графы. Учащиеся используют ориентированные и неориентированные графы (в том числе с

рёбрами двух цветов), двудольные графы с рёбрами двух цветов. Со второго класса

учащиеся получают возможность решить задачи с помощью разных методов (составление

таблиц, графов, «дерева выбора») и сравнить их.

Комбинаторика - это постоянный эксперимент, моделирование различных жизненных

ситуаций, что даёт толчок к исследовательской деятельности, которая, в свою очередь,

развивает, учит видеть красоту человеческой мысли. Ученик испытывает чувство радости от

осознания того, что объяснил все возможные варианты и от того, что нашёл решение задачи.

Вопросы, которыми ученик задаётся при этом, ведут к новым задачам. Основная цель

учителя на данном этапе - помочь ученику привести свои результаты к математическим.

Исследования в области комбинаторики развивают воображение и наука становится дорогой

к открытию. Пытаясь подойти к решению задачи с разных позиций, учащийся научится

лучше решать задачи не только комбинаторные, но и все те, которые ставит жизнь.

Рассмотрим виды комбинаций:

◄ Задачи на нахождение числа перестановок без повторений и с повторениями.

На подоконнике стоят в ряд три горшка с цветами: кактусом, фикусом и геранью. Каждый

день мама ставит их по-новому. Сколько дней пройдет до того времени, когда горшки вновь

окажутся на своих местах?

► Задачи на нахождение числа сочетаний без повторений и с повторениями.

На фабрике выпускают стержни для ручек четырех цветов: красного, синего, черного и

зеленого. Сколько разных наборов трехцветных ручек можно при этом собрать?

◄ Задачи на нахождение числа размещений без повторений и с повторениями.

В зверинец привезли ламу, тигра, обезьяну и медведя. Сколько возможных вариантов

расселения двух из пяти привезенных зверей в данные клетки?

► Способ выбора и упорядочения множеств. Задачи на упорядочение элементов множества.

Одна девочка использует бусинки только двух цветов: белые и желтые. Какие отличающиеся

друг от друга украшения она может сделать, если на одной подвеске нет бусинок

одинакового цвета?

◄ Задачи на выбор подмножества и их упорядочение.

Запиши все двузначные числа, которые можно составить их цифр 3, 5, 9 и 1 так, чтобы число

десятков было меньше числа единиц.

► Задачи на выбор подмножеств.

В классе в шахматы играют 4 человека: Настя, Алеша, Денис и Оксана. Напиши, какие были

пары играющих, если каждый играл с каждым по одному разу.

Комбинаторные задачи, включенные в начальный курс математики, обладают рядом

ценных качеств, которые полезны в образовательном процессе:

1) на комбинаторных моделях четко прослеживаются этапы использования математики в

решении практических задач;

2) комбинаторные модели взяты из жизни;

3) наш мир построен на вероятности, нам часто приходится сталкиваться с ситуа-циями,

разрешить которые жёстко детерминированным способом невозможно. Особенность

решения комбинаторных задач заключается в том, что они имеют чаще всего не одно, а

несколько решений.

Комбинаторные задачи можно решать различными методами. В курсе математики

выделены два метода решения комбинаторных задач «формальный» и «неформальный». Под

«формальным» методом решения комбинаторной задачи понимают решение задачи с

помощью использования формул комбинаторики и правил суммы и произведения. При

формировании умения решать комбинаторные задачи «формальным» методом учащихся

знакомят с чёткими определениями различных видов соединений (перестановками,

размещениями, сочетаниями), с выводами соответствующих формул, с правилами суммы и

произведения

и

лишь

после

этого

рассматривают

задачи,

при

решении

которых

используются полученные результаты. При «формальном» методе решения необходимо

определить вид выборки, подобрать соответствующую формулу, подставить в нее числа и

вычислить значение выражения. Значение выражения – это количество возможных

вариантов, сами же эти варианты не образовываются. Под «неформальным» методом реше-

ния комбинаторных задач понимают сам процесс составления различных вариантов.

Понятия «комбинация», «соединения», «выборка» дети осваивают на интуитивном уровне,

опираясь на текст и контекст конкретной задачи. Комбинация может трактоваться как вид

соединения. При «неформальном» методе решения на первый план выходит сам процесс

составления различных вариантов. Основным методом решения комбинаторных задач в

начальных классах является «неформальный» метод, так как он учитывает особенности

мышления младших школьников, их опыт и не перегружает учащихся дополнительной

информацией,

связанной

с

введением

в

содержание

курса

новых

понятий.

К

«неформальному» методу можно отнести метод перебора. Различают хаотический и

систематический

(организованный)

перебор.

При

хаотическом

переборе

учащиеся

осуществляют перебор методом «блуждания» при отсутствии четкого плана в поисках ответа

на поставленный вопрос. Типичными ошибками, которые допускают учащиеся при решении

комбинаторных задач с помощью хаотического перебора, являются пропуск вариантов, их

повторение. В начальной школе основным методом решения комбинаторных задач признан

метод систематического перебора вариантов.

Вычислительный аспект комбинаторики весьма значителен, однако не вычисления

являются основным моментом при решении возникающих в ней задач, а правильная

организация

процесса

решения.

Решить

комбинаторные

задачи

можно

только

с

использованием креативности мышления, эвристических подходов, учёта всех возможных

вариантов, умения организовать их целенаправленный перебор. Комбинаторные задачи

вызывают большой интерес и могут служить эффективным средством развития учеников.

Урок по математике "Решение комбинаторных задач"

Раздел: Математика

Задачи урока:

Образовательные:



Развитие умения решать комбинаторные задачи методом полного перебора

вариантов;



Выработка умения применять математическую теорию в конкретных ситуациях;



Знакомство учащихся с элементами гуманитарного знания, связанного с математикой.

Развивающие:



Развитие умения делать выбор рационального способа кодирования;



Развитие умения самостоятельно выбирать способ решения и умения обосновать

выбор;



Развитие умения решать задачи путём только логических рассуждений.

Воспитательные:



Воспитывать чувство ответственности за качество и результат выполняемой работы;



Прививать сознательное отношение к труду;



Формировать ответственность за конечный результат.

Ход урока

Здравствуйте, ребята! Очень часто в жизни приходится делать выбор, принимать

решение. Это сделать очень трудно не потому что его нет или оно одно и поэтому его трудно

найти, а приходится выбирать из множества возможных вариантов, различных способов,

комбинаций. И нам всегда хочется чтобы этот выбор был оптимальный.

Задачи, которые мы сегодня будем решать помогут вам творить, думать необычно,

оригинально, смело, видеть то, мимо чего вы часто проходили не замечая, любить

неизвестное, новое; преодолевать трудности и идти через невозможное вперед.

Девиз нашего урока сегодня “ Я МОГ БЫ ИХ ПЕРЕСЧИТАТЬ, НО МНЕ НЕ ДАЛИ

ДОПИСАТЬ” В конце урока мы подведем итог нашей работы и вы объясните как вы его

поняли и применяли на уроке.

И еще сегодня в очередной раз убедимся, что наш мир полон математики и продолжим

исследование на предмет выявления математики вокруг нас.

Комбинаторика – раздел математики, в котором изучается, сколько различных комбинаций,

подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Повесив одежду, вы очень часто отправляетесь к расписанию, посмотреть порядок уроков.

А представьте на миг, чтобы стало в школе, если бы не было расписания. Трудно пришлось

бы всем: и детям, и учителям. Даже в одном классе и то вряд ли легко решили бы проблему.

В помощь тому, кто составляет расписание, решим задачу.

Задача №1. В 4 А классе во вторник 5 уроков: физкультура, русский язык, литература,

обществознание и математика. Сколько можно составить вариантов расписания на день, зная

точно что математика – последний урок?

Решение:

Закодируем О - обществознание, Р – русский язык, Л - литература, М - математика

ЛОРФ ОЛРФ РЛОФ ФЛОР

ЛОРФ ОЛФР РЛФО ФЛРО

ЛРОФ ОРЛФ РОЛФ ФОЛР

ЛРФО ОРФЛ РОФЛ ФОРЛ

ЛФОР ОФЛР РФЛО ФОРЛ

ЛФРО ОФРЛ РФОЛ ФРОЛ

Ответ: 24 варианта

2-й способ решения – с помощью древа возможных вариантов.

Рисунок1

3-й способ – по правилу умножения: 4*3*2*1=24 способа.

Да, трудно придется тому, кто забудет порядок уроков и, не посмотрев в расписание, захочет

правильно заполнить дневник. Почему математика в переборе не участвовала?

Хорошо. Заглянем на каждый из уроков: обществознание, физкультуру, русский язык,

физкультуру и литературу. И по возможности отыщем на них математические задания.

Начнем с обществознания.

Задача №2

.

Несколько стран решили использовать для своего государственного флага

символику в виде трёх

горизонтальных полос разной ширины, разных цветов – белый, синий,

красный. Сколько стран могут использовать такую символику при условии, что у каждой

страны свой флаг?

Решите задачу с помощью дерева возможных вариантов.

Вопрос, ответ на который должны знать все, какой из представленных вариантов флагов –

государственный флаг РФ.

Посмотрим какие еще государства используют для своего государственного флага такую

символику.



КБС – Люксембург, Нидерланды.



СБК – Югославия.

Без переменки заглянем на урок русского языка.

Задача №3. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную из слова КОНВЕРТ

Задача №4. РАННИМ УТРОМ НА РЫБАЛКУ УЛЫБАЮЩИЙСЯ ИГОРЬ МЧАЛСЯ

БОСИКОМ

Сколько осмысленных предложений можно составить, вычеркивая некоторые слова этого

предложения? (Во все предложения обязательно должны входить подлежащее ИГОРЬ И

сказуемое МЧАЛСЯ)

Решение Для каждого из слов УЛЫБАЮЩИЙСЯ, БОСИКОМ и словосочетания НА

РЫБАЛКУ есть две возможности: входить или не входить в предложение. Поэтому если не

учитывать слова ранним утром, то можно составить 2*2*2=8 предложений

Из каждого можно получить три предложения: одно – со словами РАННИМ УТРОМ, второе

– только со словом УТРОМ, третье – без этих слов. 8* 3 = 24

Задача №5. Сколько

разных

слов

(не

обязательно

осмысленных)

можно

получить

переставляя буквы слов:

а) КРОТ

б) МАМА

Как богат, не правда ли, русский язык? Но мы все больше убеждаемся, что и математика

очень интересна и связана со многими науками.

Настало время заглянуть на следующий урок. Физкультура.

Задача №6. Для участия в соревнованиях по бегу получили футболки : красные (К), желтые

(Ж), синие (С) и зеленые (З). После того, как каждый спортсмен взял себе футболку,

оказалось, что две футболки лишние. Какого цвета могли быть оставшиеся футболки?

Используя условные обозначения или цветные карандаши, ответьте на вопрос задачи.

Рисунок3

Решение 4+ (4*3)/2 =10

Задача №7. Для игры в баскетбол из семи учеников 5 класса нужно отобрать пятерых, а двух

оставить в запасе. Сколько вариантов выбора команды возможно и сколько вариантов

выбора двух запасных игроков возможно?

Обозначь каждого игрока номером и запиши в таблицу возможные варианты выбора двух

запасных игроков:

второй

первый

1

2

3

1

2

Решение.

Выбор команды 7*6*5*4*3=2520 но здесь есть повторяющиеся варианты и они

отличаются друг от друга только порядком следования, а баскетбольной команде это не

важно.

(7*6*5*4*3) / (5*4*3*2*1) = 42

Выбор запасных игроков

7*7 = 49 клеток в таблице 1 и 1, 2 и 2 и т.д.- эти варианты не подходят, их всего 7 и еще есть

повторяющиеся (49- 7) / 2 =21

Задача №8.

Поэт-модернист написал стихотворение, в котором первая строка “Хочу пойти гулять куда-

нибудь”, а остальные строки все разные и получены из 1

ой

перестановкой слов. Какое

наибольшее количество строк может быть в этом стихотворении?

Решение: Используя задачу №1, учащиеся могут сразу дать ответ – 24 строки.

Неправда ли легкий способ для написания стихов.

Как вы считаете легко выучить такое стихотворение?

Задача №9. В школьной столовой детям приготовили на завтрак кашу (К), блины (Б),

творожники (Т), и предложили напитки – чай (Ч), молоко (М), сок (С). Сколько можно

составить различных вариантов завтрака из двух блюд, одним из которых будет напиток?

Заполни таблицу и ответь на вопрос задачи.

Второе блюдо Первое блюдо

Задача №10. Сколько нужно конвертов, чтобы девочки Оля (О), Лена (Л), Наташа (Н) и

Маша (М) обменялись письмами?

Для ответа на вопрос задачи можно воспользоваться схемой, которая называется графом.

Рисунок 4

Точки О, Л, Н, М – вершины графа. Они обозначают имена девочек. Линии, соединяющие

две точки, называют ребрами графа, а стрелки показывают, кому каждая девочка написала

письмо.

Такой граф называют ориентированным.

Рассмотри схему 2, на которой показано, сколько писем отправили девочки, и вставь в текст

пропущенные слова и числа.

Рисунок 5

а) Девочки отправили _________________________ писем.

б) Оля отправила письмо ______________________________ .

в) Лена отправила письмо ______________________________ .

г) Маша получила письма от _____________________________ .

д) Наташа получила письма от ____________________________ .

е) Наташа отправила письма ____________________________ .

ж) Маша отправила письма ________________________________ .

з) Нина отправила ____________________________ письма.

и) Маша получила ____________________________ письма.

12. Пятеро друзей (1, 2, 3, 4, 5) встретились после каникул и обменялись рукопожатиями.

Сколько всего было сделано рукопожатий?

Закончи построение графа и ответь на вопрос задачи.

Рисунок 6

Подведем итоги.

Мы буквально на несколько минут заглянули на уроки из расписания и действительно

встретились с математикой.

Вспоминаете слова-стихи:

Математика повсюду –

Глазом только поведешь

И примеров сразу уйму

Ты вокруг себя найдешь…

В конце урока домашнее задание; оценки за урок.