государственное бюджетное

профессиональное образовательное учреждение

«Челябинский автотранспортный техникум»

Курс лекций

2 курс

по дисциплине «Математика»

Специальность 23.02.07 Техническое обслуживание и ремонт двигателей, систем и агрегатов

автомобилей

Челябинск 2023

Курс лекций по дисциплине «Математика». – Челябинск: ГБПОУ «ЧАТТ», 2023. – 31 с.

Составитель: Антохина Е. А., преподаватель ГБПОУ «ЧАТТ»

Эксперт - рецензент: Татаринова В.В. , преподаватель ГБПОУ «ЧАТТ»

2

Содержание

Пояснительная записка………………………………………………………………………

4

Лекция № 1: Скалярные и векторные величины. Компланарные векторы. Разложение

вектора

в

прямоугольном

базисе.

Координаты

вектора

в

пространстве……………..……………………………………………………..

6

Лекция №2:Понятие производной функции; задачи,

приводимые к понятию

производной…………………………..………………………………………

10

Лекция № 3:Понятие дифференциала функции. Связь с производной. Геометрический

смысл дифференциала……………………………………..

12

Лекция №4:Понятие первообразной и неопределенного интеграла; свойства, формулы

интегрирования………………………………………………………………...

14

Лекция № 5: Методы интегрирования: непосредственное интегрирование……………..

16

Лекция № 6: Методы интегрирования: метод замены переменной………………………

18

Лекция № 7: Метод интегрирования: интегрирование по частям……………..................

20

Лекция № 8: Понятие определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница…………

22

Лекция № 9: Определенный интеграл и его свойства……………………………………..

24

Лекция № 10: Геометрический смысл определенного интеграла……………………….

25

Лекция № 11: Применение определенного интеграла для решения физических и

технических задач………………………………………………………..

26

Лекция № 12: Задачи, приводимые к понятию дифференциальных уравнений.

Дифференциальные уравнения. Основные понятия и определения…

28

Лекция № 13: Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными………

29

Лекция № 14: Линейные дифференциальные уравнения…………………………............

30

Список использованных источников……………………………………………………….

31

3

Пояснительная записка

Курс лекций по дисциплине предназначены для студентов специальностей 23.02.07

«Техническое обслуживание и ремонт двигателей, систем и агрегатов автомобилей.

Общеобразовательная дисциплина «Математика» является частью основной

профессиональной образовательной программы в соответствии с федеральным базисным

учебным планом и примерными учебными планами для образовательных учреждений РФ,

реализующих программы среднего (полного) общего образования.

«Математика»

совместно

с

другими

общеобразовательными

дисциплинами,

входящими в цикл общеобразовательных дисциплин, направлена на обеспечение общей

подготовки специалиста.

В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен знать:

-

понятия

уравнения,

неравенства,

системы,

степени,

логарифма;

основы

тригонометрии;

- определение производной функции, формы дифференцирования, физический и

геометрический смыслы производной; понятие первообразной и интеграла, свойства

формулы интегрирования;

- названия геометрических фигур и тел, их свойства; формулы для вычисления

площадей плоских фигур и площадей поверхностей геометрических тел; формулы для

вычисления объемов геометрических тел;

- основные понятия комбинаторики; определение вероятности случайного события;

- числовые характеристики случайной величины; понятие о законе больших чисел

В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен уметь:

-

выполнять

арифметические

действия

над

числами

и

алгебраическими

выражениями; решать уравнения, неравенства, системы; применять свойства степени,

корня, логарифма; использовать понятия функции для описания и анализа зависимостей

величин;

- находить производные элементарных функций, использовать производную для

изучения свойств функций и построения графиков; решать задачи прикладного характера;

вычислять площади и объемы с использованием интеграла;

- анализировать взаимное расположение объектов в пространстве; изображать

многогранники и круглые тела, выполнять чертежи по условиям задач; строить

простейшие сечения геометрических тел;

- решать планиметрические и стереометрические задачи; проводить доказательные

рассуждения в ходе решения задач; использовать знания и умения в практической

деятельности и повседневной жизни;

4

- решать комбинаторные задачи, использовать формулу бинома Ньютона; решать

задачи на вычисление вероятностей случайных событий, представлять данные задач по

математической статистике в виде таблиц, диаграмм, графиков.

Предложенный курс лекций необходим тем студентам, которые хотят быстро и

качественно повторить материал, наверстать упущенное по болезни или изучить

самостоятельно какую-либо тему.

В данном пособии представлен курс лекций за 1, 2 семестр 2 курса обучения.

Курс содержит 14 лекций по дисциплине «математика»

5

Лекция №1

Скалярные и векторные величины. Компланарные векторы. Разложение вектора в

прямоугольном базисе. Координаты вектора в пространстве.

План

1 Скалярные и векторные величины.

2 Действия над векторами.

3 Упражнения на действия с векторами.

1 Скалярные и векторные величины

Физические величины могут быть скалярными и векторными.

Скалярные величины (скаляры) полностью характеризуются численным значением

и единицей измерения.

Например: время t, температура T, электрический заряд q, масса m).

Для обозначения скалярных величин используются строчные и прописные буквы

латинского и греческого алфавита. В расчетах скалярные величины выражаются

действительными числами и с ними можно производить все без исключения действия,

которые выполняются с действительными числами.

Скалярные величины могут иметь положительные или отрицательные числовое

значение (исключение составляет температура по шкале Кельвина). Векторная величина

полностью характеризуется численным значением, единицей измерения и направлением.

Например: скорость

сила,

напряженность

электрического

поля.

Для

обозначения

векторной величины также используют строчные и прописные буквы латинского и

греческого алфавитов. Для указания на векторный характер физической величины над

обычным ее обозначением ставится стрелка:

,

и т.д. Векторная величина

геометрически

изображается

вектором,

т.е.

отрезком,

имеющим

определенные

направление и длину. Действия сложения и вычитания над этими физическими

величинами выполняются согласно математическим правилам действий с векторами.

Стандартное определение: «Вектор — это направленный отрезок». Величины,

не имеющие направления, называются скалярными. Масса, работа, электрический заряд

никуда не направлены. Они характеризуются лишь числовым значением — «сколько

килограмм» или «сколько джоулей».

Физические величины, имеющие не только абсолютное значение, но и направление,

называются векторными.

Скорость, сила, ускорение — векторы. Для них важно «сколько» и важно «куда».

Например,

ускорение

свободного

падения

направлено

к поверхности

Земли,

а величина его равна 9,8 м/с

2

. Импульс, напряженность электрического поля, индукция

магнитного поля — тоже векторные величины.

6

Физические величины обозначают буквами, латинскими или греческими.

Стрелочка над буквой показывает, что величина является векторной:

Вот другой пример.

Автомобиль движется из A в B. Конечный результат — его перемещение

из точки A в точку B, то есть перемещение на вектор

.

Теперь понятно, почему вектор — это направленный отрезок. Обратите внимание,

конец вектора — там, где стрелочка.

Длиной вектора называется длина этого отрезка. Обозначается:

или

Равными называются

векторы,

имеющие

одинаковые

длины

и одинаковое

направление. Это значит, что вектор можно перенести параллельно себе в любую точку

плоскости.

Единичным называется вектор, длина которого равна 1. Нулевым — вектор, длина

которого равна нулю, то есть его начало совпадает с концом.

Удобнее всего работать с векторами в прямоугольной системе координат — той

самой, в которой рисуем графики функций. Каждой точке в системе координат

соответствуют

два

числа —

ее координаты

по

и

,

абсцисса

и ордината.

Вектор также задается двумя координатами:

2 Действия над векторами

1.Формула нахождения координат вектора.

Находятся они просто: координата конца вектора минус координата его начала.

2. Формула длины вектора

Если координаты вектора заданы, его длина находится по формуле

3 Упражнения на действия с векторами

1.Найдите значение вектора АВ:

а)А(2;0) и В(3;9)

б)А(-4;5) и В(-2;-7)

2.Найти длину вектора:

а) с(3;4)

б) в(-2;-7)

Разложение вектора на плоскости. Координаты вектора в прямоугольном базисе.

Любой вектор

в базисе (i;j) имеет вид

, где x и y – координаты

вектора в данном базисе

- разложение вектора на плоскости

7

Упражнения

1.

Записать координаты вектора :

a)

б)

в)

г)

2. Найти в базисе

координаты векторов:

а)

б)

j

b





10



в)

j

i

c







6

3





г)

д)

е)

ж)

з)

3. Написать разложение по базису следующих векторов:

a)

б)

в)

г)

Компланарные векторы. Разложение вектора в пространстве по трем направлениям.

Координаты вектора в пространстве.

Векторы называются компланарными, если при откладывании из одной и той же

точки они будут лежать в одной плоскости.

Векторы

называются

координатными

векторами.

Любой

вектор

можно разложить по координатным векторам.

Коэффициенты разложения определяются единственным образом и называются

координатами вектора

в данной системе координат.

Упражнения

1. Укажите координаты векторов:

а)

б)

8

в)

г)

д)

е)

ж)

2. По координатам векторов

найти координаты

вектора:

а)

б)

в)

3. Написать разложение по базису

следующих векторов:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

Контрольные вопросы:

1.

Что называется вектором?

2.

Как найти координаты вектора на плоскости и в пространстве?

3.

Как найти длину вектора?

4.

Какие векторы называют компланарными?

5.

Какие величины называют векторными и скалярными?

9

Лекция №2

Понятие производной функции; задачи, приводимые к понятию производной

План

1 Определение производной функции.

2 Первая задача, приводящая к понятию производной функции.

3 Вторая задача, приводящая к понятию производной функции.

1 Определение производной функции

График функции

Производной функции

называется конечный предел приращения функции

к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (при

условии, что этот предел существует).

Для производной функции

употребляются следующие выражения:

.

Нахождение производной называется дифференцированием.

Пример нахождения производной:

Найти

, если

Найдем значение производной при

Задачи, приводящие к понятию производной:

2 Первая задача, приводящая к понятию производной функции

1.

Прямолинейное движение материальной точки (задача о мгновенной скорости)

Пусть точка движется по закону

,

. Тогда за промежуток времени

длительности

между моментами времени

и

точка проходит путь, равный

со средней скоростью:

10

Очевидно, что средняя скорость

тем полнее характеризует движение за

промежутки времени от

до

при

, стремящемся к

, называется мгновенной

скоростью

в момент времени

:

Мгновенная скорость движения

в момент времени

есть производная от

пути

по времени, т.е.

3 Вторая задача, приводящая к понятию производной функции

2. Протекание тока в электрической цепи (задача о мгновенной величине тока)

Представим себе электрическую цепь с некоторым источником тока. Обозначим

через

количество электричества (в кулонах), протекающее через поперечное

сечение проводника за время

. В случае постоянного тока средняя сила тока

будет

одинаковой для любых различных, но одинаковых по длительности промежутков

времени. Если в цепи переменный ток, то

будет различной для различных, но

одинаковых по длительности промежутков времени. Поэтому для характеристики цепи

переменного тока вводят понятие мгновенной силы тока в данный момент времени:

мгновенной силой тока

в момент времени

называется предел (если он

существует), к которому стремится средняя сила тока за промежуток времени от

до

при

, стремящемся к

:

Контрольные вопросы:

1.

Дайте определение производной?

2.

Как обозначается производная функции?

3.

Первая задача, приводящая к понятию производной?

4.

Вторая задача, приводящая к понятию производной?

11

Лекция №3

Понятие дифференциала функции. Связь с производной. Геометрический смысл

дифференциала

План

1 Определение дифференциала функции. Связь с производной.

2 Геометрический смысл дифференциала.

1 Определение дифференциала функции. Связь с производной

График функции

Производной функции

называется конечный предел приращения функции

к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (при

условии, что этот предел существует).

При

, т.е.

. Из этой формулы можно выразить

или

,

где

- называют дифференциалом функции;

- производная функции;

-

дифференциал независимой переменной

Определение

дифференциала:

дифференциал

функции

равен

произведению

производной функции на дифференциал независимой переменной

Дифференциал функции может обозначаться

;

2 Геометрический смысл дифференциала

Рассмотрим функцию

.

- касательная к графику этой функции в точке

, ордината этой касательной для точки

. На рисунке

;

.

Рассмотрим прямоугольный

. Тогда

Геометрический смысл производной

12

Тангенс угла между касательной к графику функции

и положительным

направлением оси абсцисс равен производной этой функции:

Следовательно,

Известно, что приращение независимой переменной равно дифференциалу этой

переменной:

Тогда

По определению, дифференциал функции равен:

Сравнивая правые части последних двух равенств, делаем вывод, что равны и их

левые части, то есть

Таким образом, геометрический смысл дифференциала: дифференциал функции

в точке

равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой

точке, когда

получит приращение

.

Примеры нахождения дифференциала функции:

По формуле

находим:

Упражнения

Найти дифференциалы функций:

1.

2.

3.

4.

Контрольные вопросы:

1.

Дайте определение дифференциала функции?

2.

Формула дифференциала функции?

3.

Обозначение дифференциала функции?

13

Лекция №4

Понятие первообразной и неопределенного интеграла; свойства, формулы

интегрирования

План

1 Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла.

2 Свойства неопределенного интеграла.

3 Основные формулы интегрирования и упражнения на нахождение интегралов.

1 Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла

Функцию

называют первообразной для функции

на заданном

промежутке X, если для всех

выполняется равенство

.

Если функция

имеет на промежутке X

первообразную

, то

множество всех первообразных, т.е. множество функций

называется

неопределенным интегралом от функции

и обозначается

,

-

подынтегральная функция.

Формула неопределенного интеграла:

2 Свойства неопределенного интеграла

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции;

дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

,

2. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции,

сложенной с произвольной постоянной, т.е.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен такой же

алгебраической сумме неопределенных интегралов от каждой функции:

3 Основные формулы интегрирования и упражнения на нахождение интегралов

Таблица интегралов (основные формулы интегрирования)

1.

2.

3.

14

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

Пример нахождения неопределенного интеграла:

Найти

. Используя вторую формулу из таблицы интегралов, получаем:

Упражнения

Найти интегралы:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Контрольные вопросы:

1.

Какая функция называется первообразной для функции

?

2.

Дайте определение неопределенного интеграла?

3.

Перечислите свойства неопределенного интеграла?

4.

Основные формулы интегрирования (табличные интегралы)?

15

Лекция №5

Методы интегрирования: непосредственное интегрирование

План

1 Метод непосредственного интегрирования.

2 Упражнения на нахождение интегралов.

1 Метод непосредственного интегрирования

Метод непосредственного интегрирования: способ интегрирования, при котором

данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и

применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким

табличным интегралам.

Таблица интегралов (основные формулы интегрирования)

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

2 Упражнения на нахождение интегралов

Примеры нахождения неопределенного интеграла:

.

Сначала

необходимо

преобразовать

числитель

,

используя

формулы сокращеннлогоумножения, получаем:

16

После этого каждое слагаемое в числителе делим на знаменатель и получаем 3

интеграла

В первом и втором интеграле выносим постоянные множители по свойству

интегралов и по табрице интегралов вычисляем интегралы

Упражнения

Найти интегралы:

1.

2.

Контрольные вопросы:

1. Метод непосредственного интегрирования?

2. Дайте определение неопределенного интеграла?

3. Перечислите свойства неопределенного интеграла?

4. Основные формулы интегрирования (табличные интегралы)?

17

Лекция №6

Методы интегрирования: метод замены переменной

План

1 Метод замены переменной.

2 Пример нахождения неопределенного интеграла методом замены переменной.

1 Метод замены переменной

Если интеграл затруднительно привести к табличному с помощью элементарных

преобразований, то в этом случае пользуются методом замены переменной.

Сущность этого метода заключается в том, что путем введения новой переменной

удается свести данный интеграл к новому интегралу, который сравнительно легко берется

непосредственно.

Для интегрирования методом замены переменной можно использовать следующую

схему:

1. часть подынтегральной функции надо заменить новой переменной.

2. найти дифференциал от обеих частей замены

3. все подынтегральное выражение выразить через новую переменную (после чего

должен получиться табличный интеграл)

4. найти полученный табличный интеграл

5. сделать обратную замену

2 Пример нахождения неопределенного интеграла методом замены

переменной

Таблица интегралов (основные формулы интегрирования)

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

18

10.

11.

Пример нахождения неопределенного интеграла методом замены переменной:

Контрольные вопросы:

1. Метод замены переменной?

2. Дайте определение неопределенного интеграла?

3. Перечислите свойства неопределенного интеграла?

4. Основные формулы интегрирования (табличные интегралы)?

19

Лекция №7

Метод интегрирования: интегрирование по частям

План

1 Метод интегрирования по частям.

2 Пример нахождения неопределенного интеграла методом интегрирования по

частям.

1 Метод интегрирования по частям

Формула интегрирования по частям

Таблица интегралов (основные формулы интегрирования)

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

2 Пример нахождения неопределенного интеграла методом интегрирования по

частям

Найти интеграл



xdx

x sin

Пусть

òîãäà

xdx

dv

x

u

,

sin

,





dx

du



,







.

.

,

sin

å

ò

xdx

dv

x

v

cos





20

Используя формулу

, получаем:



















C

x

x

x

xdx

x

x

xdx

x

sin

cos

cos

cos

sin

Упражнения

Найти интегралы:

1.

2.



3

ln

x

xdx

Контрольные вопросы:

1. Методы интегрирования?

2. Метод интегрирования по частям?

3. Как обозначается неопределенный интеграл?

21

Лекция №8

Понятие определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница

План

1 Определение определенного интеграла (суммы Римана).

2 Определение определенного интеграла (Формула Ньютона-Лейбница).

3 Пример нахождения определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.

1 Определение определенного интеграла (суммы Римана)

Пусть действительная функция f(x) определена и ограничена на отрезке [a, b].

Разобьем данный отрезок на n частичных интервалов. В каждом интервале выберем

произвольную точку ξ

i

и составим интегральную сумму

,

где Δx

i

− длина i-го интервала. Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a,

b] называется предел интегральной суммы (суммы Римана) при стремлении максимальной

длины частичного интервала к нулю.

Где частичные промежутки интегрирования: Δx

i

Произвольные точки частичного промежутка: ξ

i

Натуральные числа: n, i

Подынтегральные функции: f

Рисунок 1

22

2 Определение определенного интеграла (Формула Ньютона-Лейбница).

Определённым интегралом от непрерывной функции f(x) на конечном отрезке [a, b]

(где

) называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке. При

этом употребляется запись

Числа a и b называются

соответственно

нижним

и

верхним

пределами

интегрирования, а отрезок [a,b] – отрезком интегрирования.

Таким образом, если F(x) – какая-нибудь первообразная функция для f(x), то,

согласно определению:

3 Пример нахождения определенного интеграла по формуле Ньютона-

Лейбница

Вычислить определенный интеграл:

По формуле Ньютона-Лейбница находим соответствующий неопределенный

интеграл т.е. первообразную функции. Затем находим определенный интеграл, который

равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования:

Контрольные вопросы:

1.

Определение определенного интеграла?

2.

Как обозначается определенный интеграл?

3.

Формула Ньютона-Лейбница?

23

Лекция №9

Определенный интеграл и его свойства

План

1 Определение определенного интеграла.

2 Свойства определенного интеграла.

1 Определение определенного интеграла

Формула Ньютона-Лебница:

2 Свойства определенного интеграла

1 Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:

2 При перестановке пределов интегрирования знак интеграла меняется на

противоположный:

3 Отрезок интегрирования можно разбить на части:

, где

4 Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

5 Интеграл от алгебраической суммы функций равен такой же алгебраической

сумме интегралов от всех слагаемых:

Контрольные вопросы:

1. Определение определенного интеграла?

2. Как обозначается определенный интеграл?

3. Свойства определенного интеграла?

24

Лекция №10

Геометрический смысл определенного интеграла

План

1 Геометрический смысл определенного интеграла.

1 Геометрический смысл определенного интеграла

Если интегрируемая на отрезке

функция

неотрицательна, то

определенный интеграл

численно равен площади

криволинейной трапеции,

ограниченной графиком функции

, осью абсцисс и прямыми

и

(рис.2),

т.е.

, где

В этом заключается геометрический смысл определенного интеграла.

Рисунок 2

Контрольные вопросы:

1.

Как обозначается площадь фигур?

2.

Геометрический смысл определенного интеграла?

3.

Как обозначается определенный интеграл?

25

Лекция №11

Применение определенного интеграла для решения физических и

технических задач

План

1 Задача о вычислении пути.

2 Задача о вычислении работы переменной силы.

3 Задача о силе давления жидкости.

4 Пример решения задачи о вычислении пути.

1 Задача о вычислении пути

Согласно физическому смыслу первой производной, производная функции в точке

есть мгновенная скорость точки, т.е.

. Отсюда,

. Интегрируя

полученное равенство в пределах от

до

получаем

Тогда путь, пройденный точкой при неравномерном движении по прямой с

переменной скоростью

(е) за отрезок времени

выражается интегралом

2 Задача о вычислении работы переменной силы

Пусть материальная точка под действием силы F

движется по прямой. Если

действующая сила постоянна, а пройденный путь равен

, то как известно из курса

физики, работа А этой F вычисляется по формуле:

Работу переменной силы f(x) при перемещении по оси Оx материальной точки от

x=a до x=b, находим по формуле:

Решение задач на вычисление работы силы упругости, связанных с растяжением и

сжатием пружин, основывается на законе Гука. По закону Гука сила F, растягивающая

или сжимающая пружину, пропорциональная этому растяжению или сжатию, т.е. F=kx,

где x – величина растяжения или сжатия, k – коэффициент пропорциональности.

26

3 Задача о силе давления жидкости

Согласно закону Паскаля величина P

давления жидкости на горизонтальную

площадку вычисляется по формуле

Где

– ускорение свободного падения в м/с

2

;

– плотность жидкости в кг/м

3

;

– глубина погружения площадки в м;

– площадь площадки в м

2

.

4 Пример решения задачи о вычислении пути

Скорость прямолинейного движения тела выражается формулой

= 2t+3t

2

(м/с).

Найти путь, пройденный телом за 5 секунд от начала движения.

Дано:

= 2t+3t

2

(м/с)

S - ?

Решение:

Ответ: S=150(м).

Контрольные вопросы:

1.Задача о вычислении пути?

2. Задача о вычислении работы переменной силы?

3. Задача о силе давления жидкости?

27

Лекция №12

Задачи, приводимые к понятию дифференциальных уравнений. Дифференциальные

уравнения. Основные понятия и определения

План

1 Основные понятия и определения.

1 Основные понятия и определения

Определение

1

.

Дифференциальным

уравнением

называется

уравнение,

связывающее независимую переменную, искомую функцию, ее производную (или

дифференциал аргумента и дифференциал функции).

Определение 2

.

Если дифференциальное уравнение содержит производную или

дифференциал не выше первого порядка, то оно называется дифференциальным

уравнением первого порядка. Общий вид такого уравнения:

где

-

искомая неизвестная функция;

- ее производная по

; а

- заданная функция

переменных

.

Определение 3

.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка

называется функция

от

и произвольной постоянной

, обращающее

это уравнение в тождество по

.

Общее решение, записанное в неявном виде

называется общим

интегралом.

Определение 4. Частным решением уравнения

называется решение,

полученное из общего решения при фиксированном значении

:

Контрольные вопросы:

1. Определение дифференциального уравнения?

2. Определение дифференциального уравнения первого порядка?

3. Частное решение дифференциального уравнения?

28

Лекция №13

Уравнения с разделяющимися переменными

План

1 Общий вид уравнения с разделяющимися переменными.

1 Общий вид уравнения с разделяющимися переменными

Общий вид такого уравнения:

Где

- функции только от

,

- функции только от

.

–

,

Уравнение с разделяющимися переменными

это уравнение в котором

,

коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители зависящие

x

y.

только от

и

Контрольные вопросы:

1. Определение дифференциального уравнения?

2. Определение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными?

3. Общий вид дифференциального уравнения с разделяющимися переменными?

29

Лекция №14

Линейные дифференциальные уравнении первого порядка

План

1 Общий вид линейного дифференциального уравнения.

2 Однородные линейные дифференциальные уравнения.

3 Пример решения дифференциального уравнения.

1 Общий вид линейного дифференциального уравнения

Общий вид такого уравнения:

Где

- заданные функции от

2 Однородные линейные дифференциальные уравнения

Общий вид такого уравнения:

Где

- заданные функции от

. Если

, то линейное уравнение

называется однородным. Оно имеет вид

и решается методом разделения

переменных.

3 Пример решения дифференциального уравнения.

В данном уравнении переменные разделять не нужно, они уже разделены.

Интегрируем обе части уравнения:

Получаем:

Контрольные вопросы:

1.

Определение линейного дифференциального уравнения?

2.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными?

3.

Общий вид линейного дифференциального уравнения?

30

Список использованных источников

1.

А.А. Дадаян. Математика , 2-е издание. – Москва, 2016

2.

Н.В. Богомолов. Практические занятия по математике. – Москва, 2016

3.

А.Г. Мордкович. Решебник по алгебре 10(11) кл. – М. 2018

31