ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ЙОШКАР-ОЛИНСКИЙ АГРАРНЫЙ КОЛЛЕДЖ

Методическая разработка

Тема: «Олимпиада по математике

для студентов I курса СПО»

Составила преподаватель

высшей квалификационной

категории Смирнова С.А.

2023 г.

Содержание

Введение..................................................................................................................3

Задания к олимпиаде...............................................................................................4

Решение задач и их разбалловка............................................................................5

Задания для подготовки к олимпиаде..................................................................12

Заключение….........................................................................................................14

Список литературы................................................................................................15

2

Введение

Для повышения интереса у студентов СПО к изучению математики

используются разные средства. Одним из них является проведение олимпиады

внутри учебного заведения.

Цели и задачи такой олимпиады:



Контроль качества знаний у студентов по данной учебной дисциплине;



Развитие умения решать более сложные задачи, чем на занятиях по

математике;



Развитие умения отыскать нестандартный подход к решению той или

иной задачи;



Развитие творческих способностей студентов;



Выявление обучающихся для участия в олимпиадах более высокого

уровня.

В данной методической разработке представлена олимпиада по математике

для студентов I курса СПО. Она состоит из шести задач, охватывающих

различные разделы математики, изучаемых на I курсе:



Функции, их свойства;



Тригонометрия;



Системы уравнений;



Производная и ее приложения;



Интеграл и его приложения;



Стереометрия.

Задачи имеют различный уровень сложности, что позволяет участвовать в

олимпиаде даже тем ребятам, у которых средний уровень подготовки.

Результаты олимпиады оцениваются в баллах. Причем оценивается не

только задача в целом, но и каждый этап ее решения. Максимальное количество

баллов по каждой задаче представлено в таблице в конце разработки.

Время, отводимое на решение олимпиадных задач – 120 минут.

3

Задания к олимпиаде.

1)

Докажите тригонометрическое тождество:

2 cos

2

α ∙ ctg

(

α

−

3 π

2

)

sin

2

α

−

cos

2

α

=

tg 2 α

2)

На рисунке изображен график

y

=

f

'

(

x

)

- производной функции f(x),

определенной на интервале (-7; 14).

а) Найдите количество, точек максимума функции f(x), принадлежащих

отрезок

[-6;13].

б) Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину

наибольшего из них

в) В какой точке отрезка [1;6] функция f(x) принимает наибольшее значение.

3)

Найдите область определения функции:

f

(

x

)=

√

3

−

x

log

0,2

(

2 х

+

1

)

4)

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:

y

=

√

x

,

y

=

1

x

и y=2.

5)

Решите систему уравнений:

{

3

y

∙ 9

x

=

81

lg

(

x

+

y

)

2

−

lgx

=

2 lg3

6)

Решите задачу: Радиус основания первого конуса в 3 раза меньше, чем

радиус основания второго конуса, а высота первого конуса в 5 раз больше, чем

высота второго. Сколько процентов составляет объем первого конуса от объема

второго, если объем второго конуса равен 18? (Ответ округлите до целого

числа).

4

Решение задач и их разбалловка.

Задание №1

Докажите тригонометрическое тождество:

2 cos

2

α ∙ ctg

(

α

−

3 π

2

)

sin

2

α

−

cos

2

α

=

tg 2 α

балл

ы

Выполнены действия:

Решение:

1,5

В числителе и знаменателе

вынесли минус за скобки и

поменяли местами вычитаемое

и уменьшаемое.

В числителе применили

свойство нечетности котангенса

и формулу приведения

ctg

(

−

α

)

=−

ctgα

ctg

(

3 π

2

−

α

)

=

tgα

В знаменателе применили

формулу двойного аргумента

для косинуса.

cos

2

α

−

sin

2

α

=

cos2 α

2 cos

2

α ∙ ctg

(

−

(

3 π

2

−

α

)

)

−(

cos

2

α

−

sin

¿

¿

2α

)=¿ ¿

¿

2 cos

2

α ∙

(

−

ctg

(

3 π

2

−

α

)

)

−

cos2 α

=¿

¿

2 cos

2

α ∙ ctg

(

3 π

2

−

α

)

cos 2 α

=¿

¿

2 cos

2

α ∙ tgα

cos2 α

=¿

2

Выполнили преобразование

tgα

=

sinα

cosα

Применили формулу двойного

аргумента для синуса.

2 Sinα ∙ Cosα

=

sin 2α

¿

2 cos

2

α ∙

Sinα

Cosα

cos 2 α

=¿

¿

2 Cosα ∙ Sinα

cos2 α

=¿

3

Выполнили преобразования.

Доказали тождество.

¿

sin 2 α

cos2 α

=

tg2 α

tg 2 α

=

tg 2α

5

Задание №2

На

рисунке

изображен

график

y

=

f

'

(

x

)

-

производной

функции

f(x),

определенной на интервале (-7; 14).

а) Найдите количество, точек максимума функции f(x), принадлежащих

отрезоку [-6;13].

б) Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину

наибольшего из них

в) В какой точке отрезка [1;6] функция f(x) принимает наибольшее значение.

балл

ы

Выполнены действия:

Решение:

1

Определили на чертеже

интервалы на которых

производная

f

'

(

x

)

>

0

и

f

'

(

x

)

<

0

а) Выбрали на отрезке точки,

в которых производная

обращается в нуль. Точки

максимума соответствуют

точкам смены знака

производной с «+» на «-».

Дан ответ

а)

На

отрезке

[-6;13]

производная

обращается в нуль в точках 7,10 и 12.

Причем при переходе через точки 7 и

12, производная меняет знак с «+» на

«-». Следовательно, на данном отрезке

две точки максимума.

Ответ: 2

2

б) Выбрали интервалы на

которых

f

'

(

x

)

<

0

– это

промежутки убывания

функции. Сравнили длину

каждого из них и выбрали

наибольший.

б)

Промежутки

убывания

функции

соответствуют

промежуткам,

на

которых

производная

функции

неположительна,

то

есть

отрезкам

[7; 10]

и

[12; 14]

длиной

3

и

2

соответственно. Длина наибольшего из

них равна 3.

6

Дан ответ

Ответ: 3

3

в) Рассмотрели значение

производной функции на

заданном отрезке.

Дан ответ.

в) Производная функции на отрезке

[1;6] положительна, значит функция

возрастает. Это говорит о том, что

наибольшее

значение

на

данном

отрезке принимает в конечной правой

точке. Это точка х=6

Ответ: 6

Задание №3

Найдите область определения функции:

f

(

x

)=

√

3

−

x

log

0,2

(

2 х

+

1

)

балл

ы

Выполнены действия:

Решение:

1,5

Исходя из следующих условий:

- квадратный корень

существует только из

неотрицательных чисел;

- дробь определена, когда

знаменатель не равен нулю;

- логарифмы определены

только для положительных

чисел;

записали систему неравенств,

которая задает область

определения данной функции

{

3

−

х ≥ 0,

log

0,2

(

2 х

+

1

)

≠0

2 х

+

1

>

0;

,

2,5

Решили каждое неравенство в

системе по отдельности.

{

х ≤3 ,

2 х

+

1≠ 1 ,

х

>

−

1

2

;

❑

⇒

{

х ≤3

х ≠0

х

>

−

1

2

3

Отметили на числовой прямой

множество решений каждого

неравенства системы и нашли

пересечение множеств.

4

Записали область определения

функции.

Дан ответ.

Ответ: х

∈

(

−

1

2

; 0

)

∪

¿

7

3

0

8

Задание №4

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:

y

=

√

x

,

y

=

1

x

и y=2.

балл

ы

Выполнены действия:

Решение:

1

Искомая фигура получается

при пересечении указанных

линий

y

=

√

x

,

y

=

1

x

и y=2.

Поэтому находим точки

пересечения этих линий.

Отмечаем их на графике.

При

y

=

√

x

и

y

=

1

x

,

получим

√

x

=

1

x

, т. е .

{

x

√

x

=

1

x

>

0

❑

⇒

x=1, то M

(1;1)

При

y

=

√

x

и

y

=

2

, то N(4;2)

При

y

=

1

x

и y

=

2 ,

то

K

(

1

2

; 2

)

2

Искомая

площадь

может

быть найдена как разность

площадей

прямоугольника

КNN

1

K

1

и суммы площадей

криволинейных

трапеций

KMM

1

K

1

и MNN

1

M

1

Вычислили

площадь

прямоугольника КNN

1

K

1

S

=

S

KN N

1

K

1

−(

S

KM M

1

K

1

+

S

MN N

1

M

1

)

S

KN N

1

K

1

=

K K

1

∙ K

1

N

1

K K

1

=

2 , K

1

N

1

=

4

−

1

2

=

7

2

S

KN N

1

K

1

=

2 ∙

7

2

=

7

3

Вычислили площади

криволинейных трапеций.

S

KMM

1

K

1

=

∫

1

2

1

1

x

dx

=

lnx

|

1

2

1

=¿

¿

ln 1

−

ln

1

2

=

ln 2

S

M NN

1

M

1

=

∫

1

4

√

x dx

=

2

3

x

3

2

|

1

4

=¿

¿

2

3

(

4

3

2

−

1

3

2

)

=

2

3

(

8

−

1

)

=

14

3

4

Нашли площадь исходной

фигуры.

Дан ответ.

S

=

7

−

(

ln 2

+

14

3

)

=

7

3

−

ln 2

9

Ответ:

2

1

3

−

ln 2

(кв.ед.)

Задание №5

Решите систему уравнений:

{

3

y

∙ 9

x

=

81

lg

(

x

+

y

)

2

−

lgx

=

2 lg3

балл

ы

Выполнены действия:

Решение:

1

Применили определение

логарифма, выписали область

допустимых значений.

В первом уравнении системы

привели все степени к одному

основанию.

Во втором уравнении

использовали свойства суммы

логарифмов и степени

логарифма.

ОДЗ:

{

x

>

0

x

+

y ≠0

{

3

y

∙ 3

2 x

=

3

4

lg

(

x

+

y

)

2

x

=

lg 3

2

{

3

y

+

2 x

=

3

4

lg

(

x

+

y

)

2

x

=

lg 9

2

В первом уравнении применили

метод уравнивания показателей.

Левая и правая части второго

уравнения приведены к

логарифму по одному

основанию, поэтому применили

метод потенцирования.

Получили равносильную

систему

{

y

+

2 x

=

4

(

x

+

y

)

2

x

=

9

{

y

+

2 x

=

4

(

x

+

y

)

2

=

9 x

3

Решили систему уравнений

методом подстановки.

Выполнив преобразования

нашли корни квадратного

уравнения: x

1

и x

2

{

y

=

4

−

2 x

(

x

+

4

−

2 x

)

2

=

9 x

(

4

−

x

)

2

=

9 x

16

−

8 x

+

x

2

−

9 x

=

0

x

2

−

17 x

+

16

=

0

D

=(−

17

)

2

−

4 ∙ 1∙ 16

=

289

−

64

=¿

225

x

1

=

17

+

√

225

2

=

17

+

15

2

=

16

x

2

=

17

−

√

225

2

=

17

−

15

2

=

1

4

Нашли соответствующие

значения второй переменной:

x

1

=

16

❑

⇒

y

1

=

4

−

2∙ 16

=−

28

10

y

1

и y

2

x

2

=

1

❑

⇒

y

2

=

4

−

2 ∙ 1

=

2

5

Выполнили проверку ОДЗ.

Дан ответ.

ОДЗ

x

1

=

16 , y

1

=−

28

{

16

>

0

16

−

28

=−

12 ≠ 0

x

2

=

1 , y

2

=

2

{

1

>

0

1

−

2

=−

1≠ 0

Ответ: (16;-28), (1;2)

Задание №6

Решите задачу: Радиус основания первого конуса в 3 раза меньше, чем радиус

основания второго конуса, а высота первого конуса в 5 раз больше, чем высота

второго. Сколько процентов составляет объем первого конуса от объема

второго, если объем второго конуса равен 18? (Ответ округлите до целого

числа).

балл

ы

Выполнены действия:

Решение:

1

Выписали формулы для

нахождения объема конусов.

Объем конуса вычисляем по

формуле:

V

=

1

3

π ∙ r

2

∙ h

r

1

, h

1

– радиус и высота первого

конуса

r

2

, h

2

– радиус и высота второго

конуса

V 1

=

1

3

π ∙ r

1

2

∙ h

1

V 2

=

1

3

π ∙ r

2

2

∙ h

2

2

Выразили радиус основания и

высоту первого конуса через

радиус и высоту второго конуса.

Подставили в формулу для

нахождения объема второго

конуса. Объем второго конуса

равен 18.

r

2

=

3r

1

,

h

2

=

1

3

h

1

V 2

=

1

3

π

(

3 r

1

)

2

h

1

5

=

18

11

3

Выполнили преобразования,

нашли для первого конуса

произведение квадрата радиуса

на высоту.

1

3

π ∙ 9 ∙ r

1

2

∙

h

1

5

=

π ∙ 3 ∙ r

1

2

∙

h

1

5

=¿

18

π ∙ r

1

2

∙

h

1

5

=

6

❑

⇒

r

1

2

∙ h

1

=

30

π

4

Подставив полученное значение

в формулу, нашли объем первого

конуса.

V 1

=

1

3

∙ π ∙ r

1

2

∙ h

1

=

1

3

∙ π ∙

30

π

=¿

10

V1=10 (куб.ед)

5

Чтобы

определить

сколько

процентов

составляет

объем

первого

конуса

от

объема

второго, разделили V1 на V2 и

умножили на 100%

Дан ответ.

V 1

V 2

∙100 %

=

10

18

∙100 %

=

56 %

Ответ: 56%

Итоги сведём в таблицу:

Задание

Максимальное

количество баллов

Задание №1

3

Задание №2

3

Задание №3

4

Задание №4

4

Задание №5

5

Задание №6

5

Итого

24

12

Задания для подготовки к олимпиаде:

1)

Найдите область определения функции:

а)

y

=

√

x

+

3

3 x

+

x

2

−

7

,

б)

y

=

lg

(

10 x

2

−

x

)

+

√

3

+

5 x

2)

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а)

y

=

(

1

−

x

) (

x

−

5

)

, y

=

4 и x

=

1

б

¿

у

=

х

3

, у

=

√

х

−

3 ,

у

=

0 и у

=

1

3)

Вычислите объем тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры,

ограниченной линиями:

y

2

=

4 x , x

=

1 , x

=

3

4)

Решите систему уравнений:

а)

{

2

x

∙ 2

y

=

16

log

3

x

+

log

3

y

=

1

б)

{

log

x

y

=

2

log

x

+

1

(

y

+

23

)

=

3

5)

Докажите тождество:

sin 4 α

1

+

cos 4 α

∙

cos 2 α

1

+

cos 2α

=

ctg

(

3 π

2

−

α

)

6)

Упростите выражение









2

cos 2

cos

2 2

3

sin

2

 

  







7)

Определите промежутки монотонности функции

y

=

√

1

−

x

+

2 x

8)

Найдите точку локального минимума функции

y

=

x ∙ e

x

+

11

9)

Для расширения жилой площади загородного дома семья решила обшить

мансардный этаж (стены без окон) вагонкой размерами 200 см



15 см.

Загородный

дом

имеет

двускатную

крышу,

имеющую

в

основании

прямоугольник (см.рисунок). высота крыши равна 2,5 м., длины стен дома

равны 12 и 10 м. Скаты крыши равны. Какое количество вагонок потребуется

для того. Чтобы обшить мансардный этаж.

13

10)

Точка A – середина оси цилиндра, высота которого h. Точка B лежит на

основании цилиндра (с центром O и радиусом R), причём угол между AB и

плоскостью основания равен 60

0

. Объём заштрихованной области

V

штрих

=

755 π

.

Найдите площадь боковой поверхности конуса с вершиной A и основанием,

совпадающим с основанием цилиндра.

14

Заключение.

Математические олимпиады играют огромную роль в развитии у

студентов творческих и профессиональных компетенций, в углублении их

знаний в области математики и умений работать индивидуально и в команде.

Олимпиады выявляют наиболее одаренных студентов и формируют кадровый

потенциал для проектной работы и научно-исследовательской деятельности.

Предметная олимпиада является средством, фактором и образовательной

средой личностного развития не только студентов. Она создает условия для

личностного и профессионального роста преподавателей, которые участвуют в

ее подготовке и проведении. Совместная деятельность в ходе олимпиады

обеспечивает содержательное взаимодействие между преподавателями и

студентами, способствует передаче и закреплению социального опыта, создает

условия для установления личностного контакта и заинтересованного диалога

между представителями различных поколений.

15

Список литературы.

1)

Богомолов, Н.В. Математика: учебник для ссузов / Н.В. Богомолов, П.И.

Самойленко. – 3-е изд., стереотип – М.: Дрофа, 2005. – 395 с.

2)

Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа,

геометрия: учебн. для студ. учреждений сред. проф. образования / М.И.

Башмаков. – 3-е изд., стер. – М: Издательский центр «Академия», 2017. – 256 с.

3)

Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа,

геометрия: Задачник: учебное пособие для студ. учреждений сред. проф.

образования / М.И. Башмаков. – 4-е изд., стер. – М: Издательский центр

«Академия», 2017. – 416 с.

16