Решение задач по теории вероятности и статистике с помощью графов

при подготовке к выпускным экзаменам ОГЭ и ЕГЭ по математике.

Методическая разработка.

ГКОУ «Школа Технологии обучения» город Москва.

Учитель математики Зазуляк Людмила Германовна.

Актуальность:

Использования этого метода решения задач с помощью графов не входит в школьную

программу. При подготовке к ОГЭ и ЕГЭ у многих учащихся возникают трудности при

решении тех или иных задач, однако, многие типы задания можно решить очень

просто с помощью графов. Данная работа содержит информацию о теории графов, а

также несколько типов задач из ОГЭ и ЕГЭ, которые можно легко и наглядно решить с

помощью теории графов.

Цель:

- познакомить с историей создания графов;

- познакомить с необходимой теорией связывающей графы с вероятностью

- показать возможность использования графов для вычисления вероятностей в различных

случаях и упрощение их решения;

- рассмотреть различные типы задач по теории вероятности и решить задачи по теории

вероятностей с использованием метода графов.

История возникновения графов.

Огромный вклад в развитие математики внес российский, немецкий и швейцарский ученый.

Леонард Эйлер. История появления графов связана с его именем. Задачу о Кенигсбергских

мостах составил именно он.

В городе Кенигсберге (сейчас это город Калининград) протекает река Прегель, через

которую построены мосты, связывающие все районы города. Во время прогулки по городу

Эйлер захотел пройти по всем мостам, причем по каждому только один раз. Однако ему это

не удалось. Вернувшись домой, ученый составил схему, изобразил участки суши точками, а

мосты отрезками, это и был первый граф.

Понятие графа.

Теория графов - обширный раздел математики, в котором изучают свойства графов.

В переводе с греческого слово «граф» —это «пишу» или «описываю». В современном мире

граф описывает отношения. И наоборот: любое отношение можно описать в виде графа.

В математике «граф» означает картинку, где нарисовано несколько точек, некоторые из

которых соединены линиями. В процессе решения задач математики заметили, что удобно

изображать объекты точками, а отношения между ними отрезками или дугами.

Итак, графом называется геометрическая фигура, состоящая из точек и соединяющих их

линий. Точки называются вершинами графа, а линии — ребрами.

Существует две основные разновидности графов — неориентированные и ориентированные.

В этой работе мы будем пользоваться только ориентированными графами.

Два ребра называются смежными, если у них есть общая вершина.

Два ребра называются кратными, если они соединяют одну и ту же пару вершин.

Ребро называется петлей, если его концы совпадают.

Правило вычисления вероятности по размеченному вероятностному графу:

1) вероятность попадания в конечную вершину (вероятность исхода) можно вычислить,

перемножая вероятности, встречаемые на ребрах соответствующего маршрута;

2) если же нас интересует вероятность события, которому благоприятствуют несколько

исходов, то вероятности соответствующих конечных вершин складываются.

ЗАДАЧИ.

Разберем несколько задач, которые решаются с помощью графов.

1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Какова вероятность

того, что «решка» выпадет ровно два раза?

Решение:

Построим граф.

Всего у нас благоприятных 3 случая из 8. Значит, 3:8= 0,375.

2. Ковбой Джон попал в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристреленного

револьвера. Если Джон стреляет из не пристрелянного револьвера, то попадет в муху с

вероятностью 0,4. На столе лежат 10 револьверов, из них 2 пристрелянных. Ковбой хватает

первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найти вероятность того, что Джон

промахнется.

Решение:

Построим граф.

0,2*0,1+0,8*0,6= 0,02+0,48=0,5.

3. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка

неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля.

Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,97. Вероятность

того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,05. Найдите

вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована

системой контроля.

Решение:

Построим граф.

0,02*0,97+0,98*0,05= 0,194+0,49=0,0684.

4. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода,

установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8

погода завтра будет такой же, как и сегодня. 14 октября погода в Волшебной стране хорошая.

Найдите вероятность того, что 17 октября в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение:

Построим граф ( для 14,15,16 и 17 октября).

0,8*0,8*0,2+0,8*0,2*0,8+0,2*0,8*0,8+0,2*0,2*0,2=0,128+0,128+0,128+0,008=0,384+0,08=0,392.

5. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет

гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов

анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом,

то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,02. Известно, что

77% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом.

Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с

подозрением на гепатит, будет положительным.

Решение:

Построим граф.

0,77*0,9+0,23*0,02=0,6976.

Заключение.

В данной работе показано, что теория графов широко используется при решении задач по

теории вероятности и статистике. Задачи, решенные с помощью графов, обладают рядом

достоинств. Они развивают воображение и логическое мышление, позволяют упростить их

решение. Полученные знания использовали при решении задач и выполнении практического

задания – составления родословной.