МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего образования

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ»

Факультет среднего профессионального образования

Электронный учебный курс

по предмету

ЕН.01«Элементы высшей математики»

Тема «Векторы в пространстве

образовательной программы среднего профессионального образования

(ОП СПО)

по специальности

09.02.07 «Информационные системы и программирование»

2023

1

Электронный учебный курс предназначен для самостоятельного

изучения раздела «Векторы в пространстве» дисциплины Элементы высшей

математики. Методическое пособие содержит изложенные в сжатой и

доступной форме теоретические сведения по данной теме для студентов 2

курса, специальности 09.02.07 «Информационные системы и

программирование»

Методические указания по выполнению самостоятельной работы составлены

в соответствии с рабочей программой дисциплины ЕН.01 «Элементы высшей

математики». Содержание методических указаний по выполнению

самостоятельной работы соответствует требованиям Федерального

государственного образовательного стандарта среднего профессионального

образования по специальности 9.02.07. Важнейшей задачей методических

указаний по организации самостоятельной работы является активизация

самостоятельной работы обучающихся

Оформленное в виде презентаций пособие обеспечивает оптимальное

усвоение материала. Рекомендации студентам позволяют оптимизировать

процесс изучения курса математики. Основная цель пособия – помочь

студентам самостоятельно овладеть теоретическим материалом по данным

темам и научиться решать основные типовые задачи.

Содержание

1.

Прямоугольная система координат в пространстве. Орты.

2.

Векторы в пространстве.

3.

Скалярное произведение, его свойства, физический смысл.

4.

Векторное произведение, его свойства, геометрический смысл.

5.

Смешанное произведение, его свойства, геометрический смысл.

6.

Полярные координаты. Построение кривых в полярных координатах.

7.

Примеры для самостоятельного решения.

2

Прямоугольная система координат в пространстве.

Скалярное произведение двух векторов.

(Презентация)

Задачи для самостоятельного решения

Скалярное произведение двух векторов

1.

Даны векторы

⃗

a

=

m

⃗

i

+

3

⃗

j

+

4

⃗

k

и

⃗

b

=

4

⃗

i

+

m

⃗

j

−

7

⃗

k

, при каком значении

m

векторы перпендикулярны?

2.

При каком значении

m

векторы перпендикулярны

⃗

a

=

m

⃗

i

+

⃗

j ;

⃗

b

=

4

⃗

i

+

5

⃗

j

−

3

⃗

k

3.

Определить угол между векторами

3

a)

⃗

b

=

6

⃗

i

+

4

⃗

j

−

2

⃗

k ;

⃗

a

=

⃗

i

+

2

⃗

j

+

3

⃗

k

b)

⃗

a

=

3

⃗

i

+

4

⃗

j

+

5

⃗

k ;

⃗

b

=

4

⃗

i

+

5

⃗

j

−

3

⃗

k ;

c)

⃗

a

=−

4

⃗

i

−

3

⃗

j

+

5

⃗

k ;

⃗

b

=−

2

⃗

i

+

3

⃗

j

+

⃗

k ;

4.

Даны вершины треугольника

A

(

−

1 ; 4 ; 1

)

,

B

(

3 ; 4 ;

−

2

)

, C

(

5; 2 ;

−

1

)

. Найти углы

треугольника.

5.

Даны вершины треугольника

A

(

1 ; 1; 5

)

,

B

(

−

2; 0 ; 7

)

, C

(

−

3 ;

−

2 ; 5

)

. Найти угол

A

^

C B

.

6.

Найти угол между векторами

⃗

a

+

⃗

b и

⃗

a

−

⃗

b

, если

⃗

a

=

(

1 ;

−

1; 2

)

,

⃗

b

=

(

0 ; 2 ; 1

)

7.

На материальную точку действуют силы

⃗

f

1

=

2

⃗

i

−

⃗

j

+

⃗

k

,

⃗

f

2

=−

⃗

i

+

2

⃗

j

+

2

⃗

k

,

⃗

f

3

=

⃗

i

+

⃗

j

−

2

⃗

k

. Найти работу равнодействующей этих

сил R при перемещении точки из положения

A

(

2 ;

−

1 ; 0

)

в положение

B

(

4 ;

−

1 ;1

)

.

Векторное произведение двух векторов

(Презентация)

4

Задачи для самостоятельного решения

Векторное произведение двух векторов

1.

Найти

⃗

а

×

⃗

b

, если

1)

⃗

a

=

2

⃗

i

+

3

⃗

j

+

5

⃗

k ;

⃗

b

=

⃗

i

+

2

⃗

j

+

⃗

k ;

2)

⃗

a

=

5

⃗

i

−

4

⃗

j

+

7

⃗

k ;

⃗

b

=

⃗

i

+

⃗

j

−

2

⃗

k ;

2.

Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах

1)

⃗

a

=

{

3 ;

−

2 ; 6

}

и

⃗

b

=

{

6 ; 3 ;

−

2

}

2)

⃗

a

=

6

⃗

i

+

3

⃗

j

−

2

⃗

k ;

⃗

b

=

3

⃗

i

−

2

⃗

j

+

6

⃗

k ;

3.

Даны три точки:

. Найти площадь

треугольника ABC. Найти длину высоты, опущенной из вершины А.

5

4.

Даны точки А(1; -1; 2), В(5; -6; 2), С(1; 3; -1). Найти площадь

треугольника АВС.

5.

Даны

точки А(1;

1;1), В(2;

3;

4), С(4;

3;

2).

Найти

площадь

треугольника АВС.

6

Смешанное произведение

(Презентация)

Задачи для самостоятельного решения

Смешанное произведение

7

1.

Вычислить объем тетраэдра, вершины которого находятся в точках

А(2; 2; 2), В(3; 1; 5), С(0; 4; 3), D(5; 0; 7).

2.

Вычислите объем параллелепипеда, построенного на

векторах

, заданных в

прямоугольной системе координат.

3.

В прямоугольной декартовой системе координат даны четыре

точки

. Найдите объем

тетраэдра АВСD.

4.

Вычислить объем тетраэдра, вершины которого находятся в точках

А(2; 2; 2), В(4; 3; 3), С(4; 5; 4), D(5; 5; 6). Найти площадь основания

тетраэдра (АВС). Найти угол

∠

DCB

.

5.

Вычислить объем тетраэдра, вершины которого находятся в точках

А(0; 0; 1), В(2; 3; 5), С(6; 2; 3), D(3; 7; 2). Найти длину высоты

пирамиды, опущенную на грань BCD/

Контрольная работа

Векторы в пространстве.

Вариант № 1

8

Даны четыре точки

A

(

2 ;

−

1 ;

−

3

)

,

B

(

−

1 ; 2;

−

3

)

,

C

(

−

2 ;

−

1 ; 1

)

,

D

(

−

3 ;

−

3 ;

−

3

)

.

Точка

D

- вершина тетраэдра.

1.

Построить точку

B

.

2.

Найти

1)

площадь основания тетраэдра, (с помощью векторного произведения);

2)

угол

∠

BDC

;

3)

объем тетраэдра;

4)

длину высоты тетраэдра.

Вариант № 2

Даны четыре точки

A

(

2 ; 3; 1

)

,

B

(

0 ; 2 ; 1

)

,

C

(

−

2; 0; 1

)

,

D

(

2 ; 1 ; 2

)

.

Точка

D

- вершина

тетраэдра.

1.

Построить точку

A

.

2.

Найти

1)

площадь основания тетраэдра, (с помощью векторного

произведения);

2)

угол

∠

CDA

;

3)

объем тетраэдра;

4)

длину высоты тетраэдра.

9