Бюджетное образовательное учреждение

муниципального образования Динской район

«Средняя общеобразовательная школа № 35 имени 46-го

Гвардейского ночного бомбардировочного

авиационного полка»

Методическая разработка

по решению задач по теме:

«Теория вероятностей и математическая

статистика»

Учитель математики Даниленко Л.А.

Новотитаровская 2024 г

1

"Теория

вероятностей

и

математическая

статистика"

–

это

математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.

Во

всех

случаях,

когда

применяются

вероятностные

методы

исследования, их цель состоит в том, чтобы, минуя слишком сложное

изучение отдельного явления, обусловленного очень большим количеством

факторов, обратиться непосредственно к законам, управляющим массами

случайных явлений. Изучение этих законов позволяет не только осуществить

научный прогноз в своеобразной области случайных явлений, но в ряде

случаев помогает целенаправленно влиять на ход случайных явлений,

контролировать их, ограничивать сферу действий случайности.

Вероятностный

метод

в

науке

не

противопоставляет

себя

классическому

методу

точных

наук,

а

является

его

дополнением,

позволяющим глубже анализировать явление с учётом присущих ему

элементов случайности.

Характерным для современного этапа развития любой науки является

широкое и плодотворное применение вероятностных и статистических

методов. Это вполне естественно, так как при углублённом изучении любого

круга явлений неизбежно наступает этап, когда требуется не только

выявление основных закономерностей, но и анализ возможных отклонений

от них. В одних науках, в силу специфики предмета и исторических условий,

внедрение вероятностных и статистических методов наблюдается раньше, в

других – позже. В настоящее время нет почти ни одной науки, в которой так

или иначе не применялись бы вероятностные и статистические методы.

Математические законы теории вероятностей – отражение реальных

статистических законов, объективно существующих в массовых случайных

явлениях природы. К изучению этих явлений теория вероятностей применяет

математический метод и по своему методу является одним из разделов

математики, столь же логически точным и строгим, как и другие

математические науки.

2

Решение

задач

по

теории

вероятностей

и

математической

статистике у учащихся часто сопряжено со многими трудностями.

Помочь школьнику преодолевать эти трудности, научить применять

теоретические знания к решению задач по теории вероятностей и

математической

статистики

–

основное

назначение

учителя

в

подготовке к успешной сдачи экзамена в форме ЕГЭ.

Цель . Научить решать задачи по теории вероятности не в строгости

по учебнику , а на интуитивном уровне. Задачи о случайных событиях.

В любой науке есть основные понятия, на которые она опирается.

Одним из таких понятий в теории вероятностей является понятие события.

Под событием понимается всякий факт, который в результате действия

может произойти или не произойти. Такое действие называют испытанием.

Любое событие, факт наступления которого вполне определяется

тем, что какое- то из элементарных событий наступило, называетcя

случайным событием.

Элементарный исход, при котором наступает событие. называют

благоприятствующим.

Вероятностью любого события называют отношение благоприятных

исходов к общему числу исходов. Вероятность любого числа – это число от

0 до 1.

Пример 1 Возьмем монету .При подбрасывании монеты вероятны два

исхода – орел или решка. Вероятность выпадения орла ½= 0,5.

Пример 2.

При подбрасывании кубика

вероятность выпадения 3

равна

1

6

и выпадение 4 равна

1

6

, а 7 равно 0. Из 6 возможных исходов один

благоприятный.

Пример 3. В пакете 25 яблок. Из них 7 красных, а остальные

зеленные. Какова вероятность красных яблок?

Р

1=

7

25

- КРАСНЫЕ ЯБЛОКИ

Р

2 =

18

25

- ЗЕЛЕННЫЕ ЯБЛОКИ

3

Р

3 =

0

БАНАНЫ

Р= Р

1

+ Р

2

Р= Р

1

+ Р

2

=

7

25

+

18

25

=1

Рассмотрим несколько задач

Задача1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают

дважды. Найти вероятность того, что орел выпадет один раз

Решение.

Бросать дважды –это тоже самое , что одновременно

бросить две монеты. Какие возможные исходы:

О О Из всех четырех возможных исходов

только два благоприятствующих.

Вероятность того, что орел выпадет один раз Р=

2

4

= 0,5.

Р Р Ответ 0,5

Задача 2. В случайном эксперименте бросают две игральные кости.

Найти вероятность того, что в сумме выпадает 8 очков. Результат

округлить до сотых.

. Решение. Сколько всего исходов? Всего -36 исходов.

1 2 3 4 5 6

1 11 21

2 12 22 62

3 13 23 53

4 14 24 44

5 15 25 35

6 16 26

Должно выпасть ровно 8 очков. Таких благоприятных исходов 5. Нужная

вероятность Р=

5

36

=0,14.

Ответ 0,14

Задача 3. Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону

участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью

жребия. Всего в чемпионате

участвует 26 бадминтонистов, среди

которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов Найти

вероятность того, что в первом туре играет Руслан Орлов .

. Решение. Сколько всего исходов? Всего -25 ВОЗМОЖНЫХ

4

Р О

О Р

исходов, т.к. ОРЛОВ САМ СОБОЙ ИГРАТЬ НЕ МОЖЕТ. 10 из России и

среди них Орлов ,значит партнеров 9.. Поэтому нужная вероятность Р =

9

25

=0,36.

Ответ 0,36

Для решения следующих задач необходимо ввести понятия

несовместности и независимости.

Определение.

Несовместные события, которые не могут произойти

одновременно, т.е. появление одного исключает появление другого.

Р(А+В) = Р(А) + Р(В)

Независимые события

такие, которые проходят независимо друг от

друга, т.е. наступление одного события независимо от другого.

Р(АВ) = Р(А) · Р(В)

1.Кубики. Р

1 =

1

6

Р

2

=

=

1

6

Р = Р

1

+

Р

2

=

1

6

+

1

6

=

1

3

2.

Юноша купил лотарею.

Вероятность выиграть 0,01

.

И мог

познакомиться с девушкой с вероятностью 0,4.

Р

1

= 0,01 Р

2

=0,4

Р = Р

1

·

Р

2

=

0,01· 0,4 =0,004.

Пусть произошли оба события. Такая двойная удача, хотя везет не всегда.

Противоположные события: выиграл или купил, а противоположно –

проиграл или не купил 0,01 - 0,99

Задача 4 В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с

вероятностью 0,3. Найти вероятность того, что в случайный момент

времени все три продавца заняты одновременно(считайте, что клиенты

заходят независимо друг от друга.

. Решение. Сколько всего исходов?

Продавцы

0,3 0,7

0,3 0,7

0,3 0,7 Р = Р = Р

1

·

Р

2

·

Р

3

=

0,3· 0,3 · 0,3 =0,027

ОТвет 0,027

Задача 5 На рисунке изображен лабиринт. Паук заползает в лабиринт в

точке «Вход» Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на

каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не

5

полз. Считая, что выбор дальнейшего пути число случайным ,определите с

какой вероятностью паук придёт к выходу D.

Решение. Паук

D

B

A

P

D

=

1

2

Усложним задачу P

В

=

1

2

·

1

2

=

1

4

P

А

=

1

2

·

1

2

·

1

2

=

1

8

Ответ : 0,5 или 0,125.

Задача 6 . Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных

фар. Первая фабрика выпускает 45%, этих стекол. вторая -55%. Первая

фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая 1%.

Найти

вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло

окажется бракованным..

Решение. Для решения этой задачи применяется формулы суммы и

произведения вероятности

Фабрики

Выпускают 0,45 0,55

I II

0,03 0,97 0.01 0,99

Брак брак

Итак, стекло с I фабрики и бракованное 0,45·0,03

стекло с II фабрики и бракованное 0,55·0,01

а в сумме 0,45·0,03 + 0,55·0,01= 0,019.

Ответ 0,019

6

Решение следующих задач относится к одной из наиболее распространенных

вероятностных моделей: независимым повторением одного и того же

испытания с различными исходами.

Задача 7 .В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия

их нужно разделить на четыре групп по четыре команды. В ящике

вперемешку лежат карточки с номерами групп 1111,2222,3333 и 4444.

Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того,

что случайно команда из России...

Решение. 1. В ящике

1 1 1 1 Всего 16 исходов и благоприятных 4 исхода.

2 2 2 2

3 3 3 3 Р=

4

16

=

1

4

= 0,25

4 4 4 4

Ответ 0,25

Задача 8 .Вероятность того, что на экзамене по биологии учащийся О.

верно решит больше 11 задач, равно 0,67. .Вероятность того, что О. верно

решит больше 10 задач, равно 0,74. Найти вероятность того, что О.

верно решит 11 задач.

Решение. п - число задач. Из теста О.верно решил n > 11 Р

1

=0,67

n > 10 а О. верно решил n > 10 Р

= 0,74

Р= 0,74

n > 11 n = 11

Р

1

=0,67 Р

2

= х

По сколько два события несовместны, то сумма этих событий

0,74= 0,67 + х

Х= 0,07

Ответ 0,07

Задача 9

Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигоывает у

гроссмейстера Б с вероятностью 0,52. Если

гроссмейстер А. играет

черными,

то

гроссмейстер

А.

выигоывает

у

гроссмейстера

Б

с

вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А.и Б играют две партии, причемво

второй партии меняет цвет фигур.. Найти вероятность того, что А.

выиграет оба раза..

Решение. 1. Гроссмейстер А.с Б играет белыми. Р

1

=0,52

2. . Гроссмейстер А.с Б играет черными. Р

2

=0,3

События независимы и надо, чтобы выиграл гроссмейстер А оба раза,

7

то Р = 0,52·0,3 = 0.156

Ответ 0,156

Задача 10.

Биатлонист 5 раз стреляет по мишеням. Вероятность

попадания в мишень при одном выстреле равна 08. Найти вероятность

того, что биатлонист первые три раза попал в мишень, а последние два

промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение. Биатлонист первые три раза попал, а два последних промахнулся.

Попал Промах

1

0,8

2

0,8

3

0,8

4

0,2

5

0,2

События независимы, имеем Р = 0,8

3

·0.2

2

≈

0,02

Ответ 0,02

Задача

11

В магазине два платежных автомата .Может быть

неисправен с вероятностью 0,05независимо от другого автомата.. Найти

вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Решение. При решении этой задачи хорошо использовать интересный прием

Исправен ++ нет

1.

+

−¿

0,95 0,05

2.

+

−¿

−¿

+

+ + подходит

−¿

−¿

не подходит

Проще эту задачу решить из 1 вычесть оба неисправных автомата

Найдет Р

1

= 0,05 · 0,05= 0,0025

Теперь Р = 1 – Р

1

=1-0,0025= 0,9975

Ответ 0,9975

Задача

12

Помещение освещается фонарём с двумя лампами.

Вероятность перегорания одной лампы в течении года равна 0,3. Найти

вероятность того, что хотя бы одна лампа не перегорит

Решение. 1 ..0,7 0,3

+ +

+

−¿

−¿

+

−¿

−¿

не подходит т.к . перегорели обе лампы

Поступим аналогично предыдущей задаачи

8

+

−¿

Р + 1 – 0,3

2

= 1-0,09 = 0,91

Ответ 0,91

Задача 13 В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе.

П Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна

0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равно

0,12.. Найти вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих

автоматах.

Решение Это одна из сложных задач.

Видим, что вероятность того, что закончится кофе в обоих автоматах

равно не 0,09 , а 0,12.В чем же дело? Вероятность независимых

событий равно произведению вероятности событий. Что же здесь?

События зависимы и надо считать по-другому. Как обойти эту

сложность.

Найдем , что кофе закончилось либо 1, либо во 2, либо в обоих сразу.

Дело в том, что если кофе закончилось в 1 автомате, люди пойдут ко

второму. События зависимы и произведение надо находить по-другому

Пусть закончилось в 1

−¿

+

+

−¿

−¿

−¿

+ + осталось кофе в обоих и они зависимы друг

от друга

А В Р (А

∪

В) = Р (А) + Р ( В) - Р (А

∩

В)

А Р (А

∪

В)

А1

Обратим внимание на значки

[

∪

+ cумма Суммой (или объединением) двух событий А и

В назовём событие А+В (или А

∪

В), происходящее

тогда и только тогда, когда происходит или А, или

В. Сумме событий А и В соответствует объединение

множеств А и В.

{

∩

×

произведение Произведением (или пересечением) двух событий

А и В назовём событие АВ (или А

Ç

В), которое

происходит тогда и только тогда, когда происходит

и А, и В. Произведению событий А и В соответствует

пересечение множеств А и В.

Как же посчитать Р (А

∪

В) = Р (А) + Р ( В) - Р (А

∩

В)

Кофе закончилось в обоих

автоматах.

9

Р

1

= Р (А) + Р ( В) - Р (А

∩

В) = 0,3+ 0,3 - 0.12 = 0,48

А теперь Р

2

= 1-0,48 = 0,52 кофе осталось в одном автомате.

Ответ 0, 52

Задача

14.

Чтобы

поступить

в

институт

на

специальность

«Лингвистика» абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по

каждому из трех предметов- математика, русский язык и иностранный

язык.

Чтобы поступить

на специальность «Коммерция» абитуриент

должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трех предметов

- математика, русский язык и обществознание. Вероятность того, что

абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике равна 0,6, по

русскому языку – 0,8, иностранному языку -0,7, по обществознанию -0,5.

Найти вероятность того, что абитуриент З. сможет поступить хотя

бы на одну из двух упомянутых специальностей?

Решение Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее

70 баллов

А К А

∩

К

Математика 0,6

Русский язык 0,8

Обществознание 0,5

Иностранный язык 0,7

Чтобы набрать проходные баллы , надо чтобы было достаточно баллов

или по иностранному языку , или по обществознанию Или и по

одному и другому предмету .

Какие возможны исходы?

Сдал не сдал

Обществознание 0,5 0,5

Иностранный язык 0,7 0,3

−¿

+

+

−¿

−¿

−¿

+ + подходит

Р= 0,6 ·0,8· (1- 0,5· 0,3 )= 0,408.

Ответ 0, 408

Задача 15 Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах.

40% яиц из первого хозяйства – яйца высшей категории, а из второго

хозяйства -20% – яйца высшей категории,

Всег высшую категорию

получают 35% яиц. Найти вероятность того, что яйцо купленное у этой

агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Решение Нарисуем все возможные исходы .

Высшая

Первая 40%

Вторая 20%

I II

Поступают высшей категории P

1

= x P

2

= 1-x

10

0,4 0,6 0,2 0,8

Вероятность произведения событий равна произведению вероятностей.

Получим уравнение 0,4х + 0,2 (1-х) = 0,35

Решив его получим х = 0,75

Ответ 0, 75

Задача 16. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9,

если стреляет из пристреленного револьвера. Если Джон стреляет из не

пристреленного револьвера , то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На

столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристреленные. Ковбой

Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер

и стреляет в муху. Найти вероятность того, что Джон промахнется.

Решение Нарисуем все возможные исходы .

Револьверы

Пристреленные не пристреленные

4 6

Р

1

=0,4 Р

2

= 0,6

Попал в муху Промах Попал в муху Промах

0,9 0,1 0,2 0,8

Возможные исходы промахов

0,4·0,1 + 0,6·0,8 = 0,52

Ответ 0, 52

Задача

17.

Какова

вероятность того, что случайно выбранное

натуральное число от 10 до 19 делится на три ..

Решение Нарисуем все возможные исходы -10

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Благоприятных -3. Поэтому Р=

3

10

=0,3

Ответ 0, 3

Задача 18. В группе туристов 5 человек с помощью жребия они выбирают

двух человек, которые должны идти ми в село за продукта Турист А. хотел

бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию Какова вероятность

того, что случайно турист А. сходить в магазин..

Р=

2

5

=0,4

Ответ 0, 4

Задача 19

Перед началом футбольного матча судья бросает монетку,

чтобы определить, какая команд начнет игру с мячом. Команда «Физик»

играет три матча с разными командами. Найти вероятность того, что в

этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза.

.

Решение Бросать трижды –это тоже самое , что одновременно

11

бросить три монеты. Какие

возможные исходы: Команда «Физик»

выигрывает 2 раза из трёх.

Итак, 1) О Р

2) ОО ОР РО РР

3)

п число исходов равно 2

п

п = 8

О Р

О Р О Р

О Р О Р О Р О Р

Из всех исходов благополучных 3.,тогда Р =

3

8

= 0,375.

Ответ 0, 375

Следующие задачи решают с помощью комбинаторики, но можно проще.

Задача 20. В классе 26 человек, среди них два близнеца Андрей и Сергей.

Класс случайным образом делят на две группы по 13 человек в каждой.

Найти вероятность того, что Андрей и Сергей в одной группе.

Решение В группе 13 человек - Андрей и ещё 12 человек. Среди них

Сергей. Значит , Р =

12

25

= 0,48.

Ответ 0, 48.

Задача 21. В группе туристов 30 человек. Из вертолётов в несколько

приемов забрасывают по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт

перевозит туристов случаен. Найти вероятность того, что случайно

турист А. сходить в магазин..

Решение Р =

6

30

=

1

5

=0,2

Ответ 0, 2.

Задача 22. На олимпиаде в школе 250 участников рассаживают по трём

аудиториям. В первых двух 120 человек, оставшихся проводят в запасную

аудиторию. Найти вероятность того, что н..

Решение 250-120-120-10 человек было в запасной аудитории.

Р =

10

250

= 0,04.

Ответ 0, 04..

12

Задача 23.

Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус.

Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20

пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15,

равна 0,56. Найти вероятность того, что пассажиров будет от 15 до

19 ... Решение

п <20 или п <15 или 15< п <19 - все события несовместны

Р =0,94 Р

1

= 0,56 Р

2

-?

Р = Р

1

+ Р

2

или 0,94 = 0,56 + х

х = 0,38

Ответ 0, 38..

Задача 24. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ

крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется

положительным. У больных гепатитом пациентов анализ дает

положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен

гепатитом , то анализ может дать ложный положительный результат с

вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с

подозрением гепатита действительно больны Найти вероятность того,

что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением

на гепатит, будет положительным.

... Решение Человек

Больной не больной

0,05 0,95

При выполнении анализов,

Если больной если здоров

0,9 0,1 0,01 0,99

+

−¿

+

−¿

Р = 0,05· 0,9 + 0,95 ·0,01 =0,0545.

Ответ 0,0545.

Данные задачи помогут выпускникам успешно подготовиться к итоговым

экзаменам в форме ЕГЭ.

13