МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ЧЕЛЯБИНСКОЙ ОБЛАСТИ

ГБПОУ «ТРОИЦКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ»

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА УРОКА

ПО ДИСЦИПЛИНЕ: ЕН.01 МАТЕМАТИКА

ПО ТЕМЕ: «Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

Задача Коши. Дифференциальные уравнения с разделяющимися

переменными»

ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ: 13.02.03 Электрические станции, сети и системы

2025г.

Рассмотрен на заседании цикловой методической комиссии преподавателей

общеобразовательных дисциплин, ОГСЭ и ЕН циклов.

Протокол № от «____» _______________

Разработчик: О.В. Орлова, преподаватель математики высшей

квалификационной категории.

2

ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ

Дисциплина: Математика

Раздел: Элементы математического анализа

Тема занятия: Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

Задача Коши. Дифференциальные уравнения с разделяющимися

переменными.

Тип учебного занятия: Урок изучения нового.

Метод обучении: интеграция информационно-сообщающего,

репродуктивного.

Цели занятия

в соответствии с уровнями усвоения учебной информации

Учебная (обучающая): I уровень



формирование понятия дифференциального уравнения;



ознакомление с понятием «задача Коши»;



знакомство с дифференциальным уравнениями с

разделяющимися переменными.

II уровень (воспроизведение)



решение типовых дифференциальных уравнений с

разделяющимися переменными.

Развивающая:



ОК 01 Выбирать способы решения задач профессиональной

3

деятельности применительно к различным контекстам;



ОК 02 Осуществлять поиск, анализ и интерпретацию информации,

необходимой для выполнения задач профессиональной

деятельности;



ОК 04 Работать в коллективе и команде, эффективно

взаимодействовать с коллегами, руководством, клиентами.

Воспитательная:



воспитание профессионально важных личностных качеств студентов:

чувства индивидуальной и групповой ответственности; коммуникативного

общения;



воспитание аккуратности при оформлении работ в тетрадях.

Методы (М), методические приёмы (МП)

в соответствии с уровнями усвоения информации.

I уровень (знакомство)

М: информационно – сообщающий

МП: словесные: рассказ, беседа, ссылка на предыдущие темы

II уровень (воспроизведение)

М: информационно – сообщающий, репродуктивный

МП: беседа, решение типовых задач.

План темы занятия

1.

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

2.

Понятие дифференциального уравнения, задача Коши.

3.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

4

Ход занятия по этапам

Этапы занятия, время

Деятельность преподавателя

Деятельность обучающих

1.

Организационный

этап (2 мин)

Задача- создать положительный эмоциональный настрой группы

на работу.



Приветствие



Проверка наличия студентов



Приветствуют

2.

Анализ

практической

работы (5 мин)



Типовые ошибки в практической работе.



Мероприятия по устранению пробелов в знаниях

студентов.



Слушают, воспринимают.



Участвуют в обсуждении.

3.

Повторение (8 мин)



Повторение

Преподаватель предлагает студентам решить несколько

упражнений на вычисление интегралов.



Участвуют в

обсуждении .решения

упражнений.



Выполняют записи в конспекте.

4.

Изучение нового

материала (30 мин)

Задача – обеспечить успешное восприятие информации

1.

Задачи,

приводящие

к

дифференциальным

уравнениям.



Знакомит студентов с физической задачей, которая

подводит к пониманию понятия дифференциального

уравнения.



Слушают, воспринимают.



Записывают задачу в конспект.



Участвуют в обсуждении.

2.

Понятие дифференциального уравнения, задача Коши.



Диктует

определения:

дифференциального

уравнения,

обыкновенного

дифференциального

уравнения,

порядка

дифференциального

уравнения,

общего

решения

дифференциального уравнения.



Демонстрирует примеры.



Поясняет, что такое частное решение или «задача Коши»,

решает упражнение.

.



Слушают, воспринимают.



Записывают определения в

конспект.



Участвуют в обсуждении

решения упражнений.



Выполняют записи упражнений

в конспекте.

5

3.Дифференциальные уравнения с разделяющимися

переменными.



Диктует

определение

дифференциального

уравнения

с

разделяющимися переменными и объясняет методику его

решения.



Демонстрирует примеры.



Выполняют записи в конспекте.



Участвуют в обсуждении

решения упражнений.

5.

Закрепление (35

мин)

Задача – активизировать мыслительную деятельность

обучающихся.

Решение дифференциальных уравнении с разделяющимися

переменными.

o

Проводит обсуждение решения упражнений.



Записывает решение на доске .



Организует и направляет работу студентов.



Предлагает студентам решить задачи самостоятельно.



При необходимости консультирует и оказывает

необходимую помощь.



Воспринимают информацию.



Участвуют в

обсуждении .решения

упражнений.



Решение записывают в конспект.



Работают у доски.



Задают вопросы.

6.

Домашнее

задание(5 мин)

Домашнее задание:

Вопросы:

1.

Определение дифференциального уравнения.

2.

Что является решением дифференциального

уравнения?

3.

Что значит решить задачу Коши?

4.

Какова методика решения уравнения с

разделяющимися переменными.

Найти общее решение дифференциального уравнения:

dy

√

x

=

3 dx

√

y



Записывают домашнее задание.

6

Найти частное решение дифференциальных уравнений:

а)

dy

x

2

=

dx

y

2

; y

=

2 , x

=

0

б)

(

1

+

y

)

dx

=(

1

−

x

)

dy ; y

=

3 , x

=−

2



7.

Подведение итогов

занятия(5мин )

Задача – оценка результатов обучения.

Выставление оценок за работу на уроке

Рефлексия

4.

Слушают, воспринимают



Высказывают мнение о

проведенном занятии

7

Конспект урока

1.Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

Мы до сих пор рассматривали уравнения, в которых неизвестными являлись

числа (примеры).

Решение различных геометрических, физических и инженерных задач часто

приводят

к

уравнениям,

которые

связывают

независимые

переменные,

характеризующие ту или иную задачу, с какой – либо функцией этих переменных и

производными этой функции. Неизвестными в таких уравнениях является функция.

Пример 1

Задача о нахождении пути s (t) по заданной скорости v (t) сводится к решению

уравнения s' (t) = v (t), где v (t) — заданная функция, a s (t) — искомая функция.

Например, если v(t) = 3 - 4 t, то для нахождения s (t) нужно решить уравнение

s' (t) = 3 - 4t. Это уравнение содержит производную неизвестной функции. Такие

уравнения называют дифференциальными уравнениями.

2.

Понятие дифференциального уравнения, задача Коши.

Определение1.

Дифференциальным

уравнением

называется

уравнение,

связывающее

независимые

переменные,

их

функции

и

производные

(или

дифференциалы) этой функции.

Определение2. Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую

переменную,

то

оно

называется

обыкновенным

дифференциальным

уравнением.

Определение3. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение,

называется порядком дифференциального уравнения.

Пример.

x

3

y

'

+

8 y

−

x

+

5

=

0

- обыкновенное дифференциальное уравнение 1 – го порядка. В

общем виде записывается

F

(

x , y , y

'

)=

0

.

x

d

2

y

dx

2

+

xy

dy

dx

+

x

2

=

y

- обыкновенное дифференциальное уравнение 2 – го порядка. В

общем виде записывается

F

(

x , y , y

'

, y

' '

)=

0

8

Определение

4.

Общим

решением

дифференциального

уравнения

называется такая дифференцируемая функция y =



(x, C), которая при подстановке

в исходное уравнение вместо неизвестной функции обращает уравнение в

тождество.

Пример 2

Решить дифференциальное уравнение у' = х + 1. Требуется найти функцию у (х),

производная которой равна х + 1, т. е. найти первообразную функции х + 1 . По

правилам нахождения первообразных получаем

y

=

x

2

2

+

x

+

c

, где

С — произвольная постоянная.

Решение дифференциального уравнения определяется неоднозначно, с точностью

до постоянной. Обычно к дифференциальному уравнению добавляется условие, из

которого эта постоянная определяется.

Пример 3

Найти решение у (х) дифференциального уравнения у' = cos х, удовлетворяющее

условию у (0) = 2.

Все решения этого уравнения записываются формулой у (х) = sin х + С. Из условия

у (0) = 2 находим sin 0 + С = 2, откуда С = 2.

у = 2 + sin х.

Определение

5.

Задачей

Коши (Огюстен

Луи

Коши

(1789-1857)-

французский математик) называется нахождение любого частного решения

дифференциального уравнения вида у =



(х, С

0

), удовлетворяющего начальным

условиям у(х

0

) = у

0

.

3.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Определение

6.

Дифференциальным

уравнением

с

разделяющимися

переменными называется уравнение вида:

dy

dx

=

f

(

x

)⋅

ϕ

(

y

)

Для его решения необходимо разделить переменные:

dy

ϕ

(

y

)

=

f

(

x

)

dx

А затем проинтегрировать обе части равенства:

9

∫

dy

ϕ

(

y

)

=

∫

f

(

x

)

dx

Найти общее решение дифференциального уравнения:

1.

ydy

=

xdx

интегрируем:

∫

ydy

=

∫

xdx

Получим:

y

2

2

=

x

2

2

+

C

2

Ответ:

y

2

=

x

2

+

C

2.

x

2

dx

=

3 y

2

dy

Ответ:

x

3

=

3 y

3

+

C

3.

√

x dy

=

√

y dx

Ответ:

√

y

=

√

x

+

C

4.

x

2

dx

=

3 y

2

dy

Ответ:

x

3

=

3 y

3

+

C

5.

y

2

dx

+(

x

−

2

)

dy

=

0

y

2

dx

=−(

x

−

2

)

dy

−

dx

x

−

2

=

dy

y

2

−

∫

dx

x

−

2

=

∫

dy

y

2

−

ln

|

x

−

2

|=−

1

y

+

ln C

ln C

|

x

−

2

|=

1

y

y

=

1

ln C

|

x

−

2

|

Ответ:

y

=

1

ln C

|

x

−

2

|

Найти частное решение дифференциального уравнения:

6.

xdy

=

ydx y

=

6 ; x

=

2

Ответ:

C

=

3 ; y

=

3 x

7.

ds

=(

3t

2

−

2 t

)

dt

при s=4; t=2

10

Ответ:

С

=

0 s

=

t

3

−

t

2

8.

dy

x

−

1

=

dx

y

−

2

y

=

4 ; x

=

0

Ответ:

C

=

0 y

2

−

4 y

=

x

2

−

2 x

9.

s

⋅

tgt

⋅

dt

+

ds

=

0

при

s

=

4 при t

=

π

3

∫

tgt

⋅

dt

+

∫

ds

s

=

0

(

tgt

=

sin t

cos t

;cos t

=

u ;sin tdt

=−

du

)

−

∫

du

u

⋅

dt

+

∫

ds

s

=

0

−

ln

|

cos t

|+

ln

|

s

|=

ln C

ln s

=

lncos t

⋅

C

s

=

C cos t

4

=

C cos

π

3

C

=

8

s

=

8 cos t

Ответ:

s

=

8 cos t

Домашнее задание:

Вопросы:

1.

Определение дифференциального уравнения.

2.

Что является решением дифференциального уравнения?

3.

Что значит решить задачу Коши?

4.

Какова методика решения уравнения с разделяющимися переменными.

Найти общее решение дифференциального уравнения:

dy

√

x

=

3 dx

√

y

Найти частное решение дифференциальных уравнений:

а)

dy

x

2

=

dx

y

2

; y

=

2 , x

=

0

б)

(

1

+

y

)

dx

=(

1

−

x

)

dy ; y

=

3 , x

=−

2

11