Методическая разработка на тему:

«Использование свойств

тригонометрических функций в

профессиональных задачах»

1. Введение

Тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс, котангенс) являются

важным инструментом не только в математике, но и в различных

профессиональных сферах. Их свойства позволяют моделировать периодические

процессы, рассчитывать параметры механических систем, анализировать

колебания и волны, а также решать задачи в инженерии, физике, информатике и

экономике.

Цель данной методической разработки — продемонстрировать практическое

применение тригонометрических функций в профессиональной деятельности,

сформировать у обучающихся навыки их использования в расчетах и анализе

реальных задач.

2. Теоретические основы тригонометрических

функций

2.1. Определение и основные свойства

Тригонометрические функции определяются для углов и дуг единичной

окружности, а также через соотношения сторон прямоугольного треугольника:

•

Синус (sin α)

— отношение противолежащего катета к гипотенузе.

•

Косинус (cos α)

— отношение прилежащего катета к гипотенузе.

•

Тангенс (tg α)

— отношение противолежащего катета к прилежащему.

•

Котангенс (ctg α)

— отношение прилежащего катета к противолежащему.

Основные свойства:

1.

Периодичность

:

o

sin(x + 2πn) = sin x,

o

cos(x + 2πn) = cos x, где n

∈

ℤ

.

2.

Четность и нечетность

:

o

sin(−x) = −sin x (нечетная),

o

cos(−x) = cos x (четная).

3.

Ограниченность

:

o

−1 ≤ sin x ≤ 1,

o

−1 ≤ cos x ≤ 1.

4.

Соотношения между функциями

:

o

sin²x + cos²x = 1 (основное тригонометрическое тождество),

o

tg x = sin x / cos x,

o

ctg x = cos x / sin x.

Эти свойства позволяют упрощать сложные выражения, решать уравнения и

анализировать зависимости в технических и естественнонаучных задачах.

2.2. Графики и их интерпретация

Графики тригонометрических функций визуализируют их поведение:

•

Синусоида

(y = sin x) — волнообразная кривая с периодом 2π, проходящая

через точки (0;0), (π/2;1), (π;0), (3π/2;−1).

•

Косинусоида

(y = cos x) — аналогична синусоиде, но сдвинута на π/2 влево.

•

Тангенсоида

(y = tg x) — имеет разрывы в точках π/2 + πn, возрастает на

каждом промежутке непрерывности.

Понимание графиков помогает анализировать колебательные процессы,

гармонические сигналы и волновые явления.

3. Применение тригонометрических функций в

профессиональных задачах

3.1. Инженерия и строительство

В инженерных расчетах тригонометрические функции используются для:

•

Расчета сил и напряжений

(разложение векторов на составляющие).

•

Проектирования механизмов

(кривошипно-шатунные системы,

передаточные функции).

•

Геодезии и картографии

(триангуляция, определение расстояний).

Пример:

При расчете наклона крыши здания используется тангенс угла:

tg α=h/l

где

h

— высота ската,

l

— горизонтальная проекция.

3.2. Физика и электротехника

Тригонометрия применяется в:

•

Гармонических колебаниях

(уравнение

x(t)=A sin(ωt+ϕ)

).

•

Переменном токе

(расчет фазовых сдвигов, мощности).

•

Волновых процессах

(звук, свет, радиоволны).

Пример:

В цепи переменного тока напряжение описывается функцией:

U

(

t

)=

U

0

sin(

t

ω

),

где

U

0

— амплитуда,

ω

— угловая частота.

3.3. Компьютерная графика и обработка сигналов

Тригонометрические функции лежат в основе:

•

Поворота объектов

(матрицы поворота в 2D/3D графике).

•

Фурье-анализа

(разложение сигналов на гармоники).

•

Генерации периодических текстур и анимаций

.

Пример:

Координаты точки после поворота на угол

α

α

:

x′=x cos α−y sin α, y′=x sin α+y cos α.

3.4. Экономика и финансы

В экономическом моделировании тригонометрия применяется для:

•

Анализа циклических тенденций

(сезонные колебания спроса).

•

Прогнозирования временных рядов

.

•

Оптимизации инвестиционных стратегий

.

Пример:

Модель сезонных колебаний продаж:

S

(

t

)=

S

0

+

A

sin

(

2

t

π

/

/T)

,

где

S

0

— средний уровень продаж,

A

— амплитуда колебаний,

T

— период.

4. Практические задания для закрепления

материала

4.1. Задание 1: Расчет углов и расстояний в геодезии

Цель:

Научиться применять тригонометрические функции для определения

недоступных расстояний.

Условие:

Из точки

A

видна вершина дерева под углом 30°. Расстояние от

A

до основания

дерева — 20 м. Определить высоту дерева.

Решение:

Используем тангенс угла:

tg 30°=

h

/20

⟹

h

=20

⋅

tg 30°≈11.55м.

4.2. Задание 2: Анализ гармонических колебаний

Цель:

Понимать параметры колебательных систем.

Условие:

Тело совершает колебания по закону

x

(

t

)=0.5sin(4

t

)

. Найти амплитуду, период и

частоту колебаний.

Решение:

•

Амплитуда

A

=0.5

м.

•

Угловая частота

ω

=4

рад/с

⇒

период

T=2π/

ω

≈1.57

с.

•

Частота

f=1/T

≈0.64

Гц.

4.3. Задание 3: Применение в компьютерной графике

Цель:

Освоить поворот точек на плоскости.

Условие:

Дана точка

(3,4)

. Найти ее координаты после поворота на 60°.

Решение:

x′=3 cos 60°−4 sin 60°≈3

⋅

0.5−4

⋅

0.866≈−1.964, y′=3 sin 60°+4 cos 60°≈3

⋅

0.86

5. Заключение

Тригонометрические функции являются мощным инструментом для решения

широкого круга профессиональных задач. Их применение охватывает инженерию,

физику, компьютерные технологии, экономику и другие области.

Рекомендации для самостоятельной работы:

•

Решение прикладных задач из своей профессиональной сферы.

•

Изучение дополнительных методов (ряд Фурье, преобразования Лапласа).

•

Практика построения графиков и моделирования процессов.

Данная методическая разработка позволяет систематизировать знания о

тригонометрических функциях и применять их в реальных профессиональных

сценариях.