Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего образования

“Балтийский федеральный университет имени Иммануила Канта”

Университетский колледж

Тема Графическое решение задач

Преподаватель Насакина Ирина Николаевна

«Графические методы решения задач»

Примеры решения задач

Теория

В школьных учебниках физики вводится графический способ представления

зависимости одной физической величины от другой. Так же в курсе математики учащиеся

изучают декартову систему координат, прямую и обратную пропорциональность (или

пропорциональную зависимость).

Поэтому учащиеся знакомы с прямолинейной зависимостью одной величины от

другой

у = kx + b (1)

Построим прямую в классической декартовой системе координат, состоящую из

перпендикулярных друг к другу осей x и y и наносим на них шкалу один переменных

величин осей (х,у). Для определенности возьмем коэффициенты

𝒌

> 0 и

𝒃

> 0 (Рис. 1).

Рисунок 1 прямая в декартовой системе координат

Теперь сделаем пере обозначение осей координат, по оси абсцисс отложим время t

в секундах, а по оси ординат координату х в метрах

Тогда после замены переменных уравнение (1) примет вид

x = kt +x0 (2)

Перенесем х0 влево тогда получится разность координат х – х0, в свою очередь

разность координат при прямолинейном движении является пройденным путем s. В

результате получим:

s = kt (3)

Очевидно, что коэффициент пропорциональности k между временем t и

пройденным путем s является скорость v.

Построим теперь декартову систему координат, состоящую из осей (t,x). Отметим

на ней начальную х1 и конечную х2 координату тела, а так же время, в которое тело

находилось в начальной и конечной координате t1 и t2 соответственно (Рис. 2)

Рисунок 2. Изменение координаты, при движении с постоянной скоростью

Изменением координаты тела за промежуток времени от момента t1 до моментаt2

называют разность x2 – x1 между конечным и начальным значением координаты.

Значит любая прямая линия в координатах (координата, время) будет определять

движение с постоянной скоростью:

𝒗

=

𝒙𝟐

−

𝒙𝟏

𝒕𝟐

−

𝒕𝟏

(4)

Отсюда можно сделать несколько важных выводов: • чем «круче» будет идти

график, тем больше будет скорость движения тела, так как за одно и тоже время у тела

«сильнее» изменилась координата (Рис. 3);

Рисунок 3. Различие изменения координат, при движении с разной скоростью

• если график параллелен оси абсцисс, то его координата не меняется, значит тело

покоится (Рис. 4);

• если график направлен вниз, то разность координат будет отрицательная, а это

значит, тело возвращается, то есть движется в обратном направлении (Рис. 4).

Рисунок 4. Состояние покоя и движение в обратном направлении

После того как учащиеся научились описывать движения тел графически,

разобрались в основных особенностях построения графика зависимости координаты от

времени для движения одного тела, можно и нужно перейти к одновременному движению

двух тел. Здесь возможно два случая: встречное движение и обгон. Начнем с одного из

самых важных и распространенных в природе и технике случая – задачи о встречном

движении двух тел.

Практика

Эту ситуацию можно представить как встречное движение двух точечных тел на

встречу друг другу. Задача заключается в том, чтобы определить, где произойдет встреча

и когда, то есть, через какое время после начала движения тел, она состоится. Встречей

тел считается такой момент времени, когда координаты двух тел совпадут, или, говоря

графическим языком – графики координат двух тел пересекутся. Рассмотрим пример,

когда два тела находящиеся на начальном расстоянии S движутся на встречу друг другу

вдоль одной прямой, причем скорость первого тела в два раза больше скорости второго.

Построим систему координат, состоящую из осей (t,x). Отметим на ней начальные

координаты тел. Для удобства построения логично поместить одно тело в начало

координат тогда его координата будет равна х1=0.Тогда координата второго тела х2 будет

равна S. Так как тела движутся на встречу, друг другу, то скорость первого тела будет

положительна, он удаляется от начала координат. А скорость второго будет отрицательна,

он приближается к началу координат. Тогда график первого тела будет идти «вверх», а

второго «вниз». Причем, так как скорость первого тела по условию в два раза больше

скорости второго тела, то путь, пройденный ими, за одно и тоже время у первого будет в

два раза больше. Поэтому при построении «поднимающаяся» прямая будет идти в два

раза «круче», чем «опускающаяся» прямая (Рис. 5)

Рисунок 5. Встречное движение двух тел вдоль одной прямой

Из графика видно, что изменение координаты первого тела Δх1 в любой момент

времени t0 в два раза больше изменение координаты второго тела Δх2, так как v1=2v2. А

так же, что тела встретятся в момент времени t3 в точке А, с координатой хА. Это значит,

что первое тело прошло расстояние хА – 0 = S1, а второе тело S - хА= S – S1. Оба они

двигались в течение времени t3 – 0 = t3. Следовательно, можно записать:

Решение этой системы уравнений дает:

Рассмотрим теперь следующую задачу - «обгон». Пусть первое тело едет

равномерно прямолинейно со скоростью v1, а второе – движется вдоль этой же прямой со

скоростью v2, находясь изначально на расстоянии S от первого. Эту задачу можно

сформулировать: где и когда второе тело догонит первое. Но давайте задачу

«перевернем». Чтобы дети понимали, что построение графика возможно, как в «прямой»,

так и «обратной» задаче. Пусть известно время встречи t, необходимо найти, на сколько, и

во сколько скорость второго тела должна быть больше скорости первого. Для решения

этой задачи графическим способом необходимо построить систему координат (t,х) и

отложить на оси абсцисс в произвольном месте точку t – место встречи. На оси ординат

отложить две точки: точку S – начальное положение первого тела и точку S2,

находящуюся выше точки S, это координата встречи. Провести две прямые соединяющие

начальные координаты тел с координатой их встречи в момент времени t (Рис. 6).

Рисунок 6. Обгон одного тела другим, движущихся вдоль одной прямой

Из графика видно, что через время t оба тела оказались в точку с координатой S2.

Пользуясь графиком, можно записать чему равняются скорости тел:

Решая эту систему уравнений, можно найти на сколько, и во сколько скорость

второго тела больше скорости первого. Это можно было сделать и не строя график, но

график помогает разобраться в процессе, происходящем в условиях задачи, тем более не

стоит забывать, что приведен простейший пример. Если внимательно посмотреть на

график, то можно сразу ответить на вопрос: на сколько скорость второго тела должна

быть больше скорости первого. Из графика видно, что за одно и тоже время t второе тело

проехало расстояние на S больше чем первое, значит:

Чтобы ответить на вопрос: во сколько скорость второго тела должна быть больше

скорости первого, необходимо из уравнения (11) выразить скорость второго тела

𝒗𝟐

и

разделить на скорость первого

𝒗𝟏

:

Некоторые, а точнее сказать, достаточно большое количество задач на

относительное движение двух тел проще и понятнее решать в системе отсчета одного из

них. Изобразив график встречного движения (Рис. 7) и график обгона (Рис. 8) в системе

координат, привязанной к одному из тел участвующих в движении (например, первого

тела).

Рисунок 7. Встречное движение, в системе координат привязанной к одному из тел

Рисунок 8. Обгон, в системе координат привязанной к одному из тел

Видно, что на рисунке 7, иллюстрирующем встречное движение, угол наклона

прямой изменения координаты, соответствующий относительной скорости второго тело

относительно первого

𝒗𝟐

относительная =

𝒗𝟐

+

𝒗𝟏

, увеличился.

𝒗𝟏

относительная =

𝒗𝟏

−

𝒗𝟏

=

𝟎

. На рис. 8, иллюстрирующем обгон, угол наклона прямой изменения

координаты, соответствующий относительной скорости второго тело относительно

первого

𝒗𝟐

относительная =

𝒗𝟐

−

𝒗𝟏

, уменьшился.

𝒗𝟏

относительная =

𝒗𝟏

−

𝒗𝟏

= 0

В этих случаях график становится немного проще, в место двух прямых

проведенных под разными углами у нас остается одна, но это качественно не влияет на

решение задачи. Гораздо интереснее и нагляднее вводить график относительного

движения для задач, когда одно тело движется по-другому, например движение катера по

реке.

Рассмотрим в качестве примера одну из наиболее известных задач «про рыбака и

шляпу».

Рыбак плыл по реке с постоянной относительно воды скоростью v. Скорость

течения реки u. Проплывая под мостом, рыбак уронил шляпу и продолжил движение в

первоначальном направлении. Через полчаса плавания ему напекло голову и он решил

вернутся за шляпой, и поплыл обратно. В результате чего нагнал шляпу на 16 600 метров

ниже по течению. К этой задаче можно задать несколько вопросов: чему равна скорость

течения u, чему равна скорость рыбака v, куда плыл рыбак изначально? Эта задача

является достаточно сложной при аналитическом решении в обычной системе координат,

и дает ответ только на первый вопрос. На второй и третий вопрос аналитического

решения нет в обычной системе координат. Не потому, что аналитически эту задачу

решить нельзя, а потом, что на них в принципе нет ответа. Рыбак мог плыть хоть по

течению, хоть против течения, это не как не повлияет на решение задачи. И скорость у

него могла быть любая. Для решения необходимо перейти в систему отсчета связанную со

шляпой. Но сначала можно построить график движения в системе координат, связанной с

мостом. Тогда необходимо рассмотреть два случая, движение против течения (Рис. 9а) и

движение по течению (Рис. 9б)

Рисунок 9а. Движение рыбака против течения

Рисунок 9б. Движение рыбака по течению

В результате мы получаем два очень сложных для анализа задачи графика (такое

тоже, к сожалению, бывает), из которых, по сути, ничего невозможно понять. Так как мы

незнаем общего времени и по течению, и против течения рыбак движется с разными

скоростями. Более «крутой» участок соответствует движению по течению, менее

«крутой» участок соответствует движению против течения.

Но если перейти в систему отсчета, связанную со шляпой, все станет проще и

понятнее (Рис. 10)

Рисунок 10. Движение рыбака и шляпы в систему отсчета, связанной со шляпой

I и II это движение рыбака по течению с различными скоростями

vII>vI; III – это движение рыбака против течения;

IV – движение рыбака против течения со скоростью меньшей скорости течения

(когда он гребет в одну сторону, но течение его сносит все равно в противоположную)

В системе отсчета связанной со шляпой необходимо и у рыбака, плывущего

по/против течения, и у шляпы отнять скорость течения.

Тогда мы получим:

Скорость рыбака плывущего по течению относительно шляпы

𝒗

рыбака по

течению =

𝒗

+

𝒖

−

𝒖

=

𝒗

(13)

Скорость рыбака плывущего против течения относительно шляпы

𝒗

рыбака против течения =

𝒗

−

𝒖

+

𝒖

=

𝒗

(14)

Скорость шляпы относительно шляпы:

𝒗

шляпы =

𝒖

−

𝒖

=

𝟎

(15)

Скорость моста относительно шляпы:

𝒗

моста =

𝟎

−

𝒖

= −

𝒖

(16)

Из графика хорошо видно, что скорость, с которой рыбак удаляется от шляпы и

приближается к ней абсолютно одинаковая. А это значит, что время его движения туда и

обратно будет, тоже одинаковое. Учитывая это, становится понятно, что абсолютно

неважно

с какой скоростью движется рыбак и в какую сторону. А также, что скорость

течения (она же скорость шляпы, она же скорость моста в данной системе отчета) равна:

По сути, рыбак может плыть даже со скоростью меньше скорости течения (что в

других задачах, на движение по реке, невозможно). Тогда его все время будет сносить

вниз по течению, но он все равно встретится со шляпой через один час, правда до моста

опять доплыть никогда не сможет. Еще довольно-таки большая группа задач, которые

встречаются в седьмом классе, это задачи на среднюю скорость. В таких задачах график

зависимости координаты от времени может помочь лишь в осмыслении задачи и записи

уравнений (что тоже в принципе неплохо), но решать придется все те же уравнения. В

задачах на среднюю скорость может помочь график зависимости скорости от времени.

Рассмотрим так же две классических задачи на нахождение средней скорости:

А) тело двигалось первую половину времени со скоростью

𝒗𝟏

, а вторую – со

скоростью

𝒗𝟐

. Какова средняя скорость тела на всем участке пути?

Б) тело двигалось первую половину пути со скоростью

𝒗𝟏

, а вторую – со

скоростью

𝒗𝟐

. Какова средняя скорость тела на всем участке пути?

Для определенности, будем считать, что в обеих задачах

𝒗𝟏

<

𝒗𝟐

. Тогда

зависимость координаты от времени будет иметь вид (Рис. 11а и 11б)

Рисунок 11а. Зависимость координаты от времени при движении, когда t1=t2=t/2

Рисунок 11б. Зависимость координаты от времени при движении, когда S1=S2=S/2

Из графиков видно, что средняя скорость будет в обоих случаях больше

𝒗𝟏

, но

меньше

𝒗𝟐

. Сравнить же средние скорости для обоих случаев достаточно

проблематично. Теперь построим графики зависимости скорости от времени в обоих

случаях. В первом случае все очень просто, так как мы знаем, что t1=t2=t/2. Это значит,

что необходимо построить два горизонтальных отрезка длиною t/2 каждый (Рис. 12а). Во

втором случаеS1=S2=S/2. Вспомним, что S1=v1t1, а S2=v2t2. Вспоминая математику, а

точнее формулу площади прямоугольника, мы приходим к пониманию того, что

необходимо построить два горизонтальных отрезка таким образом, чтобы площадь

прямоугольника под одним из них равнялась площади прямоугольника под другим (Рис.

12б)

Рисунок 12а. Зависимость скорости от времени при движении, когда t1=t2=t/2

Рисунок 12б. Зависимость скорости от времени при движении, когда S1=S2=S/2

Средняя скорость – это скорость, при которой тело за то же самое время прошло

точно такой же путь. Это значит, что нужно провести такую горизонтальную линию,

чтобы площадь под ней равнялась суммарной площади прямоугольников под линиями v1

и v2. Но так как время движения на обоих участках одинаковое, то прямоугольник,

который необходимо «отрезать» на втором участке, должен совпасть с прямоугольником,

который необходимо «добавить» на первом участке. Следовательно, линия средней

скорости должна пройти ровно по середине между

𝒗𝟏

и

𝒗𝟐

(Рис. 13а)

Рисунок 13а. Средняя скорость при движении, когда t1=t2=t/2

Во втором примере нам так же необходимо «отрезать» от второго участка кусочек,

чтобы «добавить» его на первом участке. Но так как время движения на втором участке

меньше времени движения на первом участке, очевидно, что «отрезать» по высоте нужно

больше чем «добавить», чтобы площади были равны. А это значит, что средняя скорость

во второй задаче всегда будет меньше, чем среднее арифметическое v1 и v2. (Рис. 13б).

Рисунок 13б. Средняя скорость при движении, когда S1=S2=S/2

Так же, рассматривая эти задачи, мы пришли к одному важному выводу. Если по

оси ординат отложить скорость, а по оси абсцисс время, то площадь фигуры (не

обязательно прямоугольника) под отрезком скорости даст пройденный телом путь. До сих

пор мы рассматривали только равномерное движение. То есть движение с постоянной

скоростью. Рассмотрим теперь равноускоренное движение (Рис. 14)

Рисунок 14. Зависимость скорости от времени при равноускоренном движении

Тогда по аналогии с равномерным движением (2) уравнение скорости будет иметь

вид:

v=kt+v

0

(19)

Только теперь роль коэффициента будет выполнять ускорение.

𝒌

=

𝒂

.

Следовательно:

• чем «круче» будет идти график, тем больше будет ускорение тела, так как за одно

и тоже время у тела «сильнее» изменилась скорость (Рис. 15);

• если график параллелен оси абсцисс, то его скорость тела не меняется, значит,

тело движется равномерно (Рис. 16);

• если график направлен вниз, то разность скоростей будет отрицательная, а это

значит, что тело уменьшает свою скорость, то ускорение отрицательное (Рис. 16)

Рисунок 15. Различие изменения скорости, при движении с разным ускорением

Разделим (21) на (20).

Рисунок 16. Движение с постоянной скоростью и замедление

Рисунок 17. Нахождение пройденного пути, как площади трапеции

Формулу 25 можно представить как сумму площадей двух фигур S = S1 + S2, где

S1 это расстояние, которое прошло бы тело при равномерном движении с постоянной

скоростью v1 ,S1= v1t , а S2 это расстояние которое тело пройдет за счет «прибавки» в

скорости

Задача 1 По графику зависимости модуля скорости тела от времени, представленного

на рисунке, определите путь, пройденный телом от момента времени 0 с до момента

времени 2 с. (Ответ дайте в метрах.)

Решение.

Для того чтобы по графику модуля скорости найти путь, пройденный телом за

некоторый интервал времени, необходимо вычислить площадь под частью графика,

соответствующей

этому

интервалу

времени

(в

единицах

произведения

величин,

отложенных по осям координат). В интервале времени от 0 до 2 с автомобиль прошёл

путь

Ответ: 3.

Задача 2 На рисунке представлен график зависимости модуля скорости тела от

времени.

Найдите путь, пройденный телом за время от момента времени 0 с до момента

времени 5 с. (Ответ дайте в метрах.)

Решение.

Для того чтобы по графику модуля скорости найти путь, пройденный телом за

некоторый интервал времени, необходимо вычислить площадь под частью графика,

соответствующей

этому

интервалу

времени

(в

единицах

произведения

величин,

отложенных по осям координат). В интервале от момента времени 0 с до момента времени

5 с после начала движения тело прошло путь

Другой способ решения заключается в анализе каждого участка графика в

отдельности, определения из графика начальных скоростей и ускорений на каждом этапе

и использования стандартных кинематических формул для пути.

Ответ: 20.

Задача 3 ело движется по оси Ох. По графику зависимости проекции скорости

тела v

x

от времени t установите, какой путь прошло тело за время от t

1

= 0 до t

2

= 4 с.

(Ответ дайте в метрах.)

Решение.

Необходимо различать два понятия: путь и перемещение. Путь — величина строго

положительная, это длина пройденного телом участка траектории. Под перемещением же

тела понимается изменение его координаты, перемещение может быть отрицательным.

Пройденный телом путь определяется зависимостью от времени модуля скорости. Чтобы

из графика зависимости проекции скорости тела от времени получить график модуля

скорости,

необходимо

зеркально

отразить

относительно

горизонтально

оси

все

отрицательные участки. В данной задаче это не столь принципиально, поскольку на

рассматриваем

интервале

от

до

проекция

скорости

тела

остается

положительной, но в общем случае это может привести к нежелательной ошибке.

Имея график модуля скорости, пройденный телом путь можно найти, вычислив

площадь под графиком (в единицах произведения величин, отложенных по осям

координат). За 4 с тело прошло путь

Другой способ решения заключается в определении из графика начальной скорости и

ускорения и использования стандартной кинематической формулы для пути.

Ответ: 20.

Задачи для самостоятельной работы

1.

На рисунке представлен график зависимости модуля скорости тела от времени.

Какой путь пройден телом за вторую секунду? (Ответ дайте в метрах.)

2.

На рисунке представлен график зависимости модуля скорости тела от времени.

Найдите путь, пройденный телом за время от момента времени 0 с до момента

времени 5 с. (Ответ дайте в метрах.)

3.

На рисунке представлен график зависимости пути от времени. Определите по

графику скорость движения велосипедиста в интервале от момента времени 1 с

до момента времени 3 с после начала движения. (Ответ дайте в метрах в

секунду.)

4.

На рисунке представлен график зависимости модуля скорости

автомобиля от

времени t. Найдите путь, пройденный автомобилем за 5 c. (Ответ дайте в

метрах.)

5.

Тело движется по оси Ox. На графике показана зависимость проекции скорости

тела на ось Ox от времени. Каков путь, пройденный телом к моменту

времени t = 4 с? (Ответ дайте в метрах.)

6.

Тело движется по оси Ох. По графику зависимости проекции скорости тела v

x

от

времени t установите, какой путь прошло тело за время от t

1

= 0 до t

2

= 4 с.

(Ответ дайте в метрах.)

7.

Тело движется по оси Ох. По графику зависимости проекции скорости тела v

x

от

времени t установите, какой путь прошло тело за время от t

1

= 0 до t

2

= 8 с.

(Ответ дайте в метрах.)

8.

На рисунке представлен график зависимости модуля скорости

автомобиля от

времени t. Определите по графику путь, пройденный автомобилем в интервале

времени от 30 до 50 с после начала движения. (Ответ дайте в метрах.)

9.

На рисунке представлен график зависимости модуля скорости v автомобиля от

времени t. Определите по графику путь, пройденный автомобилем в интервале

времени от 0 до 30 с. (Ответ дайте в метрах.)

10.

На рисунке представлен график зависимости координаты x тела, движущегося

вдоль оси Ох, от времени t. Чему равна проекция скорости тела v

x

в интервале

времени от 30 до 50 секунд?