Задание 11 ЕГЭ-профильного

уровня по математике

(графики функций)

Составил учитель математики

МКОУ «Военногородская СШ №18»

Ефимов А. В.

Задание 11

Функции и их графики

Проверяется умение:

•

определять значение функции по значению аргумента при

различных способах задания функции;

•

описывать по графику поведение и свойства функции;

•

находить по графику функции наибольшее и наименьшее

значения;

•

строить графики изученных функций.

Как формулируется задание 11 ЕГЭ по

математике?

По графику функции, который дается в условии,

нужно определить неизвестные параметры в ее

формуле. Возможно — найти значение функции в

некоторой точке или координаты точки пересечения

графиков функций.

Чтобы выполнить это задание, надо знать, как

выглядят и какими свойствами обладают графики

элементарных функций. Надо уметь читать

графики, то есть получать из них необходимую

информацию. Например, определять формулу

функции по ее графику.

Функции

•

Линейная функция, её график

•

Функция, описывающая обратную

пропорциональную зависимость, её график

•

Квадратичная функция, её график

•

Степенная функция с натуральным показателем, её

график

•

Тригонометрические функции, их графики

•

Показательная функция, её график

•

Логарифмическая функция, её график

Способы решения:

•

нахождение коэффициентов функции через решение систем

уравнений, используя целочисленные координаты точек

графика ( в том числе и точек пересечения с осями)

•

нахождение коэффициентов, используя вспомогательные

формулы. Например, формулу тангенса угла наклона прямой,

абсциссы вершины параболы, периодичности функции и др.)

•

преобразование формулы, задающую функцию

•

нахождение коэффициентов через преобразования графика

функции.

Линейная функция, её график

Линейная функция — функция вида y = kx+b.

График линейной функции — прямая.

Для построения графика линейной функции достаточно двух

точек — потому что через две несовпадающие точки всегда

можно провести прямую, причем единственную.

Угловой коэффициент прямой

Величина k в формуле линейной функции y = kx+b

называется угловым коэффициентом прямой

•

Если k > 0, линейная функция

возрастает.

•

Если k < 0, линейная функция

убывает.

Угловой коэффициент k равен тангенсу угла наклона графика

линейной функции к положительному направлению оси Х.

•

Пусть k > 0.

•

Чем больше k, тем круче

вверх идет график функции.

•

Число b – это точка

пересечения на оси OY.

•

Если k

1

=k

2

, прямые

параллельны.

•

Если k

1

* k

2

=-1, прямые

перпендикулярны.

Координаты точек на графике (-2; 2) (2; -5)

-2к + в = 2

2к + в = -5

Решим методом сложения

2в = - 3

в = - 1,5

Найдем значение коэффициента к

2к – 1,5 = -5

2к = - 5 + 1,5

2к = - 3,5 | : 2

к = - 1,75

Значит функция имеет вид f(x) = -1,75х – 1,5

f(x) = -1,75х – 1,5

-1,75х – 1,5 = 16

x = - 10

Ответ: х=-10

К = - 7 : 4 = - 1,75

(-2; 2) -1,75(-2) + в = 2

в = 2 - 3,5

в = - 1,5

f(x) = -1,75х – 1,5

-1,75х – 1,5 = 16

x = - 10

Ответ: х=-10

Найдите абсциссу точки пересечения графиков линейных функций

Найдем уравнения данных прямых

Вторая прямая проходит через точки (−1; 0) и (0; 1), следовательно

Значит, уравнение второй прямой — y = x + 1.

Первая прямая проходит через точки (−4; 1) и (−2; 4), следовательно,

Значит, уравнение первой прямой —

Теперь найдём абсциссу точки пересечения графиков:

Ответ: х=-12

Прямая (1)

у= х + 1

Прямая (2)

К= 3 : 2 = 1,5

В = 7

у = 1,5х + 7

х + 1= 1,5х + 7

-0,5х=6

Х=-12

Ответ: х=-12

Квадратичная функция, её график

y = + bx + c –парабола

При a > 0 ветви направлены вверх, при a < 0 — вниз

.

Абсцисса вершины параболы y = ax2 + bx + c находится по формуле:

Для нахождения ординаты вершины y0 удобнее всего подставить x0 в

уравнение параболы

или по формуле

Точки пересечения параболы y = ax2 + bx + c с осью X находятся с

помощью решения квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0. Если

дискриминант равен нулю, то парабола касается оси X. Если

дискриминант меньше нуля, то парабола не пересекает ось X.

Точка пересечения с осью Y находится легко: мы просто подставляем x =

0 в уравнение параболы. Получается точка (0, c).

Как расположена квадратичная функция (парабола) в

зависимости от знака коэффициента а и дискриминанта D.

Найти значение функции f( - 12), если f(x)=ax

2

+ bx + c.

1 способ

А(-4;-3), В(-3;-2), С(-2;1)

16а – 4в + с =-3 (*)

9а – 3в + с = -2 (**)

4а – 2в + с = 1 (***)

Вычтем из уравнения (*) уравнение (***) и вычтем из уравнения (**)

уравнение (***), получим

12а – 2в = - 4 6а – в = - 2

5а – в = - 3 5а – в = - 3

а = 1 в = 8 с = 13

Имеем f(x)=x

2

+ 8x + 13, т.е. по условию

f( - 12) = 144 – 96 + 13 = 61 Ответ: х=61

A

B

C

2 способ

Коэффициент а = 1, Х

в

= = - 4, в = 8, тогда

достаточно одного уравнения для

А(- 4; - 3)

16а – 4в + с =-3; 16 – 32 + с = - 3; с = 13

Имеем f(x)=x

2

+ 8x + 13, т.е. по условию

f( - 12) = 144 – 96 + 13 = 61

Ответ: х=61

A

3 способ, а=1,

координаты вершины параболы А(- 4; - 3).

f(x)= (x+4)

2

– 3

по условию

f( - 12) = (-12 + 4)

2

– 3 = 64 – 3 = 61

Ответ: х=61

4 способ (без формул)

Относительно новой системы координат

функция примет вид f(x) = x

2

Но тогда в новой системе координат нам

необходимо найти f( - 8).

f( - 8)= 64,

а в первоначальной системе координат будем

иметь на 3 меньше, т.е. 64 – 3 = 61.

A

Функция, описывающая обратную пропорциональную зависимость, её график

Асимптоты х = 5, у = 1

Т.е . b = - 5, c = 1

В новой системе координат функция имеет вид

Определим а

А(2; - 2) –

координаты точки в новой системе координат

а = - 4

f(x) = -

f(10) = 0,2

Функция y=

Логарифмическая и показательная функции , их

график

, a

Тригонометрические функции, их графики

На рисунке изображён график функции f(x)=asin x+b. Найдите

b.

Решение:

График функции y=asin x+b сдвинут на 1,5 вверх; f(0)=1,5.

Значит, b=1,5. Амплитуда a=2 (это расстояние по вертикали от середины

волны (0) до пика или впадины или амплитуда = (максимальная -

минимальная) / 2.

Это график функции f(x)=2sin x+1,5. Он получен из графика функции y=sin

x растяжением в 2 раза по вертикали и сдвигом вверх на 1,5.

Ответ: b=1,5.

Комбинированные задачи