Решение логарифмических неравенств методом рационализации

Решение логарифмических неравенств методом

рационализации

Тема и возрастная группа

Тема занятия: «Решение логарифмических неравенств методом

рационализации». Возрастная группа: обучающиеся 11 класса (возраст 16–17

лет), профильный уровень изучения математики. Занятие рассчитано на группу

из 12–15 человек, имеющих базовые знания по теме «Логарифмические

неравенства» и владеющих навыками решения квадратных неравенств и систем

неравенств.

Цель и задачи занятия

Цель: сформировать у обучающихся умение решать логарифмические

неравенства методом рационализации, что позволяет свести их к более простым

рациональным неравенствам без потери области допустимых значений.

Задачи:

ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ:



Актуализировать знания о свойствах логарифмической функции, области

определения логарифма, методах решения логарифмических неравенств

классическим способом.



Познакомить с методом рационализации (методом замены множителей)

для логарифмических неравенств вида log_a f(x) > log_a g(x), log_a f(x) >=

log_a g(x), log_a f(x) < log_a g(x), log_a f(x) <= log_a g(x).



Научить применять метод рационализации для неравенств с переменным

основанием логарифма.

Страница

1

Решение логарифмических неравенств методом рационализации



Отработать навык перехода от логарифмического неравенства к системе

равносильных рациональных неравенств.

РАЗВИВАЮЩИЕ:



Развивать логическое мышление, умение анализировать условие задачи и

выбирать оптимальный метод решения.



Формировать навыки самоконтроля и взаимоконтроля при проверке

решений.



Развивать алгоритмическое мышление, умение работать с системами

неравенств.

ВОСПИТАТЕЛЬНЫЕ:



Воспитывать аккуратность в оформлении решений, особенно при записи

систем неравенств.



Формировать ответственное отношение к выполнению заданий,

настойчивость в преодолении трудностей.



Поддерживать интерес к математике через демонстрацию эффективных и

нестандартных методов решения.

Планируемые результаты

ПРЕДМЕТНЫЕ:



Обучающиеся знают формулировку метода рационализации для

логарифмических неравенств.



Умеют преобразовывать логарифмическое неравенство вида log_a f(x) >

log_a g(x) в равносильную систему рациональных неравенств.



Умеют учитывать область допустимых значений (ОДЗ) исходного

неравенства при записи системы.

Страница

2

Решение логарифмических неравенств методом рационализации



Могут решать неравенства с переменным основанием логарифма,

используя метод рационализации.

МЕТАПРЕДМЕТНЫЕ:



Регулятивные: умеют планировать последовательность действий,

контролировать правильность выполнения каждого шага.



Познавательные: умеют сравнивать различные методы решения, выделять

существенные признаки, обобщать.



Коммуникативные: умеют аргументировать свою точку зрения, слушать и

корректировать ответы одноклассников.

ЛИЧНОСТНЫЕ:



Проявляют познавательную активность и самостоятельность.



Демонстрируют уважение к мнению других участников учебного

процесса.



Осознают практическую значимость изучаемого метода для подготовки к

экзаменам.

Оборудование и материалы



Интерактивная доска или проектор с экраном для демонстрации слайдов.



Презентация в программе PowerPoint или аналогичной, содержащая

теоретический материал, образцы решений, задания для самостоятельной

работы.



Раздаточный материал для каждого обучающегося: опорный конспект с

формулировками метода рационализации и примерами, листы с заданиями

для работы в парах и индивидуальной работы.



Маркеры для работы у доски (синий, красный, зеленый).



Доска с магнитами или флипчарт для фиксации ключевых идей.

Страница

3

Решение логарифмических неравенств методом рационализации



Таймер для контроля времени выполнения заданий.

Ход занятия

Вводная часть (10 минут)

Организационный момент. Педагог приветствует обучающихся, проверяет

готовность к занятию, отмечает отсутствующих. Настрой на продуктивную

работу: «Сегодня мы познакомимся с мощным инструментом, который

позволит вам решать логарифмические неравенства быстрее и с меньшим

риском ошибок. Этот метод особенно важен для успешной сдачи профильного

экзамена».

Актуализация опорных знаний. Педагог предлагает ответить на вопросы

устно:



Какая функция называется логарифмической? Приведите пример.



Что такое область определения логарифмической функции? Каким

условиям должны удовлетворять основание и аргумент?



Как ведет себя логарифмическая функция при основании больше 1 и при

основании от 0 до 1?



Как решаются простейшие логарифмические неравенства вида log_a x >

b? Какие два случая нужно рассматривать?

Педагог фиксирует на доске ключевые моменты: логарифм определен при

a>0, a!=1, f(x)>0. При a>1 функция возрастает, знак неравенства сохраняется.

При 0<a<1 функция убывает, знак неравенства меняется на противоположный.

Далее педагог предлагает решить у доски одно классическое

логарифмическое неравенство для повторения. Например: log_0,5 (x-3) > -2.

Один из обучающихся выходит к доске и решает: сначала записывает ОДЗ: x-

3>0, x>3. Затем переходит к равносильному неравенству: так как основание

Страница

4

Решение логарифмических неравенств методом рационализации

0,5<1, знак меняется: x-3 < 0,5^(-2). Вычисляет: 0,5^(-2) = 4. Получает x-3 < 4, x

< 7. С учетом ОДЗ: x принадлежит (3;7). Педагог комментирует решение,

обращает внимание на необходимость учета ОДЗ и смены знака.

Постановка проблемы. Педагог: «А теперь представьте, что в неравенстве

основание логарифма — не число, а выражение, содержащее переменную,

например, log_(x+1) (2x-3) > log_(x+1) (x+5). Как быть в этом случае? Придется

рассматривать два случая: когда основание больше 1 и когда основание от 0 до

1. Это громоздко и чревато ошибками. Есть ли способ избежать этого? Да, есть

— метод рационализации. Сегодня мы его изучим».

Основная часть (60 минут)

Теоретическое обоснование метода (15 минут)

Педагог объясняет суть метода рационализации: «Метод рационализации

заключается в замене сложного выражения (например, разности логарифмов) на

более простое рациональное выражение, которое имеет те же знаки на области

допустимых значений. Это позволяет перейти от логарифмического неравенства

к системе рациональных неравенств».

Педагог выводит на экран слайд с основной формулой:

Для неравенства вида log_a f(x) > log_a g(x) (знак может быть любым: >,

<, >=, <=) равносильная система имеет вид:

1.

ОДЗ: a>0, a!=1, f(x)>0, g(x)>0.

2.

(a1)*(f(x)-g(x)) > 0 (знак неравенства тот же, что в исходном).

Педагог поясняет: «Почему это работает? Произведение (a1) и (f(x)-g(x))

имеет тот же знак, что и разность логарифмов, при условии, что все выражения

определены. Если a>1, то a1>0, и знак неравенства определяется знаком (f(x)-

g(x)). Если 0<a<1, то a1<0, и знак меняется на противоположный. Таким

образом, мы автоматически учитываем монотонность функции».

Страница

5

Решение логарифмических неравенств методом рационализации

Педагог приводит пример записи системы для неравенства log_a f(x) >=

log_a g(x):



a>0, a!=1, f(x)>0, g(x)>0.



(a1)*(f(x)-g(x)) >= 0.

Важное замечание: если в неравенстве вместо логарифмов стоят разности

логарифмов с разными основаниями, метод также применим, но с

использованием более сложных формул. На данном занятии рассматривается

случай с одинаковыми основаниями.

Педагог раздает опорные конспекты, где записаны основные формулы и

алгоритм.

Первичное закрепление (15 минут)

Педагог предлагает решить у доски пример с числовым основанием, но с

применением метода рационализации, чтобы обучающиеся увидели его

эффективность.

Пример 1. Решить неравенство: log_3 (x^2-4) > log_3 (x+2).

Педагог вызывает одного обучающегося к доске. Алгоритм решения:

3.

Записываем ОДЗ: x^2-4>0 и x+2>0. Решаем: x^2>4, x<-2 или x>2. Второе

условие: x>-2. Пересечение: x>2.

4.

Применяем метод рационализации: (3-1)*( (x^2-4) - (x+2) ) > 0. Упрощаем:

2*(x^2-4-x-2) > 0, 2*(x^2 - x - 6) > 0. Делим на 2: x^2 - x - 6 > 0. Решаем

квадратное неравенство: корни x=3 и x=-2. Ветви параболы вверх,

неравенство >0: x<-2 или x>3.

5.

Пересекаем с ОДЗ (x>2): получаем x>3.

Ответ: (3; +бесконечность).

Страница

6

Решение логарифмических неравенств методом рационализации

Педагог комментирует: «Обратите внимание, мы не рассматривали

отдельно случаи основания, не меняли знак. Решение стало короче и

прозрачнее. Однако мы не забыли про ОДЗ — это обязательный шаг».

Далее педагог предлагает аналогичный пример для самостоятельного

решения в тетрадях с последующей проверкой: log_0,5 (2x-1) >= log_0,5 (x+3).

Обучающиеся решают 3–4 минуты, затем один из них проговаривает решение

вслух. Педагог корректирует при необходимости. Ожидаемое решение: ОДЗ:

2x-1>0, x+3>0, x>0,5. Метод: (0,5-1)( (2x-1)-(x+3) ) >= 0, (-0,5)(x-4) >= 0.

Умножаем на -2 (меняем знак): x-4 <= 0, x <= 4. С ОДЗ: x принадлежит (0,5; 4].

Решение неравенств с переменным основанием (20 минут)

Педагог переходит к более сложному случаю: «Теперь решим

неравенство, где основание содержит переменную. Именно здесь метод

рационализации дает наибольший выигрыш».

Пример 2. Решить неравенство: log_(x+1) (2x+3) > log_(x+1) (x+1).

Педагог вызывает другого обучающегося. Решение:

6.

ОДЗ: основание a = x+1 > 0, a != 1, то есть x+1>0, x+1!=1. Также

f(x)=2x+3>0, g(x)=x+1>0. Решаем систему: x>-1, x!=0, x>-1,5, x>-1. Итого:

x>-1, x!=0.

7.

Применяем метод: ( (x+1)-1 ) * ( (2x+3) - (x+1) ) > 0. Упрощаем: (x) * ( x+2

) > 0. Решаем неравенство методом интервалов: корни x=0 и x=-2. Ветви

параболы вверх, неравенство >0: x<-2 или x>0.

8.

Пересекаем с ОДЗ: x>-1, x!=0. Из двух промежутков подходит только x>0.

Точка x=0 исключена.

Ответ: (0; +бесконечность).

Страница

7

Решение логарифмических неравенств методом рационализации

Педагог акцентирует внимание: «Мы не рассматривали отдельно случай

x+1>1 и 0<x+1<1. Метод рационализации сделал это автоматически. Важно

помнить: (a1) в формуле — это основание минус 1, а не вся переменная».

Далее педагог предлагает задание для работы в парах. Каждая пара

получает карточку с одним неравенством. Время выполнения — 7 минут.

Примеры заданий:

Вариант 1: log_(3-x) (x^2-4) <= log_(3-x) (5x-6).

Вариант 2: log_(2x) (x+3) < log_(2x) (4x-1).

Вариант 3: log_(x-2) (x^2-9) >= log_(x-2) (x+3).

Педагог ходит по классу, консультирует, помогает тем, кто испытывает

затруднения. После выполнения представители каждой пары выходят к доске и

записывают решение. Остальные проверяют и задают вопросы. Педагог

организует обсуждение: «В чем отличие решения в каждом варианте? Какие

ошибки могли возникнуть?».

Типичные ошибки, которые отмечает педагог:



Забывают учесть условие a!=1 (основание не равно 1).



Неверно решают систему ОДЗ.



Путают знак при умножении неравенства на отрицательное число (если

(a1) отрицательно, но в методе это уже учтено, дополнительно менять знак

не нужно).



Не учитывают, что при решении квадратного неравенства нужно

правильно расставить знаки на интервалах.

Закрепление и обобщение (10 минут)

Педагог предлагает выполнить небольшой тест из 3 заданий на 5 минут.

Тест представлен на слайде:

Страница

8

Решение логарифмических неравенств методом рационализации

9.

Для неравенства log_2 (x-1) > log_2 (3-x) метод рационализации дает

выражение:

а) (2-1)( (x-1)-(3-x) ) > 0

б) (2-1)( (x-1)-(3-x) ) < 0

в) (2-1)( (x-1)+(3-x) ) > 0

10.Решите неравенство: log_5 (x^2-3x) <= log_5 (x+3). Ответ: ______.

11.Укажите количество целых решений неравенства log_(0,5x) (2x-3) >

log_(0,5x) (x-1) на отрезке [2;10].

Обучающиеся записывают ответы в тетради. Педагог собирает работы для

проверки. Затем фронтально разбирает правильные ответы.

Правильные ответы:

12.а.

13.ОДЗ: x^2-3x>0, x+3>0, x>3 или x<0, x>-3, итого x>3 или -3<x<0. Метод:

(5-1)*(x^2-3x-x-3)<=0, 4*(x^2-4x-3)<=0, x^2-4x-3<=0. Корни: 2+-sqrt(7).

Приблизительно: -0,65 и 4,65. Неравенство <=0: x принадлежит [2-sqrt(7);

2+sqrt(7)]. С учетом ОДЗ: x принадлежит [2-sqrt(7); 0) U (3; 2+sqrt(7)]. Так

как 2-sqrt(7) примерно -0,65, то первый интервал (-0,65; 0). Второй (3; 4,65).

Ответ: [-0,65; 0) U (3; 4,65] или в точном виде [2-sqrt(7); 0) U (3; 2+sqrt(7)].

14.ОДЗ: 0,5x>0, 0,5x!=1, 2x-3>0, x-1>0. Получаем x>0, x!=2, x>1,5, x>1.

Итого: x>1,5, x!=2. Метод: (0,5x-1)*( (2x-3)-(x-1) ) > 0, (0,5x-1)*(x-2) > 0.

Корни: x=2 и x=2. Получаем (0,5x-1)*(x-2) > 0. Раскладываем: 0,5*(x-2)*(x-2)

> 0, 0,5*(x-2)^2 > 0. Квадрат всегда неотрицателен, равен 0 при x=2.

Неравенство >0 выполняется при x!=2. С учетом ОДЗ (x>1,5, x!=2): x

принадлежит (1,5; 2) U (2; +беск). На отрезке [2;10] целые решения:

x=3,4,5,6,7,8,9,10 (8 решений, так как x=2 не входит). Ответ: 8.

Страница

9

Решение логарифмических неравенств методом рационализации

Заключительная часть (10 минут)

Подведение итогов. Педагог задает вопросы:



С каким новым методом мы познакомились?



В чем его преимущество перед классическим методом?



Какие условия обязательно нужно записывать при применении метода

рационализации?



Какие типичные ошибки вы заметили у себя или у товарищей?

Обучающиеся отвечают, педагог дополняет и обобщает.

Рефлексия. Педагог предлагает каждому оценить свою работу на занятии

по шкале от 1 до 5:



Насколько понятен метод рационализации?



Сколько примеров удалось решить самостоятельно без ошибок?



Какие вопросы остались?

Обучающиеся могут поднять руки или записать ответы на листочках.

Педагог отмечает, что метод требует практики, и рекомендует решить

несколько неравенств дома для закрепления.

Домашнее задание. Педагог выдает карточки с 5 неравенствами разного

уровня сложности:

15.log_7 (x^2-1) > log_7 (2x+2).

16.log_0,3 (x^2+2x) >= log_0,3 (x+2).

17.log_(x+2) (4x-5) < log_(x+2) (x+1).

18.log_(x-1) (x^2-2x-3) <= log_(x-1) (x+1).

19.(log_4 (x+1))^2 - 3*log_4 (x+1) + 2 > 0 (сначала замена переменной, затем

метод рационализации).

Педагог поясняет: «В пятом задании нужно сначала ввести новую

переменную, решить квадратное неравенство относительно логарифма, а затем

Страница

10

Решение логарифмических неравенств методом рационализации

применить метод рационализации для каждого полученного неравенства. Это

задание повышенной сложности, для тех, кто хочет попробовать свои силы».

Завершение занятия. Педагог благодарит обучающихся за активную

работу, напоминает о важности аккуратного оформления решений и учета ОДЗ.

«Метод рационализации — это не волшебная палочка, а инструмент, который

требует понимания и тренировки. Используйте его осознанно».

Используемые методы и приёмы

На занятии применяются следующие методы обучения:



Словесные: объяснение, беседа, фронтальный опрос, комментирование

решений.



Наглядные: демонстрация слайдов презентации, опорных конспектов,

запись на доске.



Практические: решение примеров у доски, самостоятельная работа в

тетрадях, работа в парах, выполнение теста.



Проблемно-поисковый: постановка проблемы (неравенство с переменным

основанием), поиск путей её решения.



Репродуктивный: отработка алгоритма метода на типовых примерах.



Частично-поисковый: анализ решений одноклассников, выявление

ошибок.



Метод контроля и самоконтроля: тест, взаимопроверка, рефлексия.

Приёмы обучения:



Использование алгоритмических предписаний (опорный конспект с

формулой).



Приём «лови ошибку» (педагог намеренно допускает неточность в

решении, обучающиеся её находят).

Страница

11

Решение логарифмических неравенств методом рационализации



Приём «работа в парах сменного состава» (пары могут обмениваться

карточками).



Приём «мозговой штурм» при обсуждении преимуществ метода.



Приём «светофор» (поднятие карточек красного, желтого, зеленого цвета

для оценки понимания).

Все методы и приёмы направлены на достижение поставленных целей и

задач, обеспечивают активную познавательную деятельность обучающихся на

всех этапах занятия.

Страница

12