Технологическая карта урока

Дата проведения: ______________

Тема урока: «Основные тригонометрические формулы»

Деятельностная

цель: формирование

у

учащихся

способностей

к

структурированию и систематизации изучаемого предметного содержания.

Содержательная цель: обеспечение усвоения знаний в их системе.

Задачи:

1)

обучающая

–

воспроизведение

и

коррекция

опорных

знаний

по

теме;

совершенствование навыков применения основных тригонометрических формул и

формул приведения; формирование навыков решения экзаменационных задач;

2)

развивающая

-

развитие

умений

сравнивать

и

обобщать,

развитие

логического мышления, памяти, математической речи; навыков самоконтроля;

3) воспитательная – воспитание воли и настойчивости, культуры умственного

труда, познавательного интереса к предмету; коммуникативности.

Тип урока: урок построения системы знаний.

Педагогическая

технология:

технология

проблемного

обучения

с

элементами технологии развития критического мышления, здоровьесберегающей,

информационно-коммуникативной технологий.

Методы: исследовательский.

Оборудование урока: раздаточный дидактический материал (тесты, карточки

для индивидуальной работы,), таблицы с формулами, макет

тригонометрической

окружности, мультимедиа проектор, слайдовая презентация.

Характеристика группы: группа 1071/9 разноуровневый, есть обучающиеся

с

высокой,

со

средней

и

низкой

мотивацией.

Коллектив

работоспособный,

заинтересованный в успехе. Ученики пытливые, умеющие трудиться.

Технологическая карта урока:

Этапы урока,

цель этапа,

методические

приемы

Деятельность учителя

Формы работы

Деятельность учеников

Планируемый результат

(формирование УУД)

Время

I. Мотивация к учебной деятельности

«Нестандартное

начало»

Цель: создать

настрой на работу

Устный счет в

форме «Мозгового

штурма»

Цель: актуализация

знаний, повторение

ключевых вопросов

темы, активизация

учебной

деятельности

«Верю - не верю»

Задание с

избыточным,

неверным, но

правдоподобным

данным.

Здравствуйте!

Хочу

обратиться

к

вам

словами

А.П.

Конфоровича,

автора научно-популярных книг «Математика лабиринта», «Колумбы

математики» и других.

«Математика уступает свои крепости лишь сильным и смелым».

- Как понимаете эти слова?

(Чтобы овладеть знаниями, нужно упорно трудиться.)

Задания для устного счета (на слайдах презентации).

1) Верно ли равенство 2 ≈ 114, если да, то при каком условии? (Слайд

2)

Ответ: да, при условии указания единиц измерения углов:

2

радиана

≈ 114°.

2)Что называется углом в 1 радиан? Приведите формулу, связывающую

радианную и градусную меры угла.

Ответ: угол в 1 радиан – это такой центральный угол, длина дуги

которого равна радиусу окружности.

1

радиан

≈ 57º; π

радиан

= 180º.

3) Заполните пропуски в таблице: (Слайд 3)

αº

135

18

α

рад.

3

p

3

2

p

3

Ответы: 60º; ; 270º; 0,1.

4

p

p

4) Какой четверти принадлежит угол: (Слайд 4)

+

2

p

a

,

pa

+

,

3

-

2

p

a

,

pa

-

,

+2

ap

,

2

-

pa

?

Ответ: II, III, III, II, I, IV.

Фронтально

Обучающиеся проверяют

готовность к уроку, размышляют

над вопросом, проявляют

эрудицию.

За определенный отрезок времени

решают задания, аргументируют

свои ответы.

С достаточной полнотой и

точностью выражают свои мысли.

Развивают математическую речь.

Обращаются к макетам

тригонометрической окружности.

Доказывают истинность суждения.

Анализируют, сравнивают,

устанавливают соответствие.

Делают вывод.

3 мин

10 мин

5) Верно ли неравенство: (Слайд 5)

a) sin 112º > 0; б) cos 210º < 0; в) tg 195º < 0; г) ctg 290º < 0.

Ответы: a) да; б) да; в) нет; г) да.

6)

Установите

соответствие

между

элементами

левого

и

правого

столбцов: (Слайд 6). Ответ: 1-г; 2-в; 3-б; 4-д.

7) Пусть 0 < α <

.

Определить знак числа

1)

– α) 2)

+ α) 3)

- α) 4)c

+ α)

Ответ: 1) + 2) + 3) - 4) +

8) Найдите значение выражения

1)sin(-30)-cos(-60)

2)√2cos (-45) + tg(-45)

3)√3 cos(-30)- √3 tg(-60)

4)1/2sin(-45)+ √2cos (-45)

Ответ: 1) -1 2) 0 3) 4,5 4) 0,5

2

2

22

2

2

22

1

1) a) sin

sin

1

2 )

c o s

+

s i n

б)

cos

3)

1

+

tg

в) 1

4 )

1

-

c o s

г) 1 + сtg

д) sin

a

a

aa

a

a

aa

a

�

5) 1+ctg

2

α е) cosα/ sinα

6) tg α 1/ sin

2

α

7) ctg α з) sinα / cosα

- Прошу ответить на вопросы: Как называются эти формулы? В каких

заданиях применяются?

Ответ:

основные

тригонометрические

тождества,

применяются

в

заданиях на вычисление тригонометрических функций по заданной

одной из них и для упрощения выражений.

- Предлагаю софизм. Найдите ошибку в рассуждениях:

Устанавливают причинно-

следственные связи,

предваряют устранение ошибок.

Группа пишет под диктовку

учителя, один из учащихся

работает на обороте доски.

Учащиеся в паре меняются

тетрадями, сверяют ответы с

ответами на доске, и с эталоном, и

по количеству верно выполненных

ответов ставят оценку соседу по

парте.

В парах:

взаимопроверка, коррекция

ошибок, оценивание по эталону.

Проводят рефлексию.

Диктант по

формулам

Цель: проверка

знаний формул

приведения.

Воспитание

коммуникативной

культуры

Развивающий

контроль.

(

)

sinsin- sin0sinsin.

papaaa

-==-=-

- Сформулируйте мнемоническое правило формул приведения.

Приведите функцию к углу α:

(

)

3

1) sin +

=

3) cos

5) cos

22

3

2) tg() = 4)

сtg

2

pp

aapa

papa

����

-=+=

����

����

��

++=

��

��

Ответы:

1) sin + = cos;

2

p

aa

��

��

��

2 )

t g ( )

=

t g ;

paa

+

3

3) cos - sin;

2

p

aa

��

-=

��

��

3

4)

с

t

g

t

g

;

2

paa

��

+=-

��

��

(

)

5) coscos.

paa

+=-

5 мин

10 мин.

II Здоровьесберегающая пауза

Цель: выполнить

упражнения для

снятия усталости

улучшения

мозгового

кровоснабжения

Физминутка

Руки потянули вверх, потянулись всем телом вверх, к солнышку,

поприветствовали солнышко - помахали ему руками.

А теперь опустили руки вниз и изо всех сил встряхнули ими - сбросили

с себя всю усталость, лень, сонливость.

- Руки расставили в стороны, чтоб обнять ими весь мир, а теперь

обняли себя крепко-крепко, как будто мы обнимаем весь мир и крепко

прижимаем его к себе.

- А теперь закройте глаза и представьте что вы в лесу - бежите по

дорожке и побежали легким бегом на месте.

Фронтально.

Ученики выполняют

предложенные упражнения,

развивают навыки здорового

образа жизни.

2 мин

III. Организация проблемной ситуации для определения проблем с целью их разрешения

Выход на проблему

Цель: определить

проблему,

требующую

решения, и

заинтересовать

учеников этой

проблемой.

- Предлагаю озвучить проблемы, возникшие при выполнении устного

счета и диктанта.

Предполагаемые ответы: постановка знака «±» в формулах

приведения, как привести функцию к острому углу; как по значению

одной из функций найти другие функции.

- Прошу сформулировать общую проблему урока.

Ответ: Можно ли обойтись без формул приведения в примере, типа

«вычислить без калькулятора sin 330

º

»?

Фронтально.

Анализируют выполненные

задания, озвучивают частные

проблемы.

Формулируют вопросы для

обратной связи.

Коллективно формулируют общую

проблему.

2 мин.

IV. Этап определения темы урока и целеполагания

Определение темы и

целей урока.

Цель: развивать

умение

самостоятельно

выделять и

- Исходя из озвученных проблем, назовите тему и цели урока.

- «Основные тригонометрические формулы»

- повторить (формулы)

Индивидуально

Предлагают свои формулировки

темы, используя ключевые слова,

называют цели урока.

Размышляют о предстоящей

2 мин.

формулировать

познавательную

цель.

- обобщить (основные темы разделы)

- применить (при решении в нестандартной ситуации, в контрольной

работе)

работе, планируют ее ход.

V. Ориентация в трудностях решения проблемы:

выделение частных проблем и установление очередности их решения

Тренировочные

упражнения с

показом на доске.

Цель:

формирование

умений применять

формулы для

вычисления

тригонометрических

функций по

заданной одной из

них и для

упрощения

выражений.

Выбор наиболее

рациональных

способов решения.

- Предлагаю разбиться на группы по выбранному вами заданию.

Задание 1. Вычислите

2

4sin32cos.

6423

tgctg

pppp

++-

Решение:

22

11

4sin32cos431022314.

642322

tgctg

pppp

++-=

�

+

�

+-

�

=+-=

Ответ:4

Задание 2. Найдите синус, косинус, тангенс угла α, если

13

и < < .

32

ctg

apap

=

Решение:

22

22

1199310

1) 1 + = ; sin = = ; sin = = .

101010

sin1

310

Так как - угол III четверти, то sin < 0

, sin = - .

10

ctg

ctg

aaa

aa

aaa

��

+

Индивидуально у доски,

в группах на местах.

У доски работают по 1 ученику из

каждой группы с индивидуальным

заданием.

Класс разбит на группы, которые

выполняет одно из

самостоятельно выбранных

заданий. Один учащийся работает

на обороте доски с заданием (на

карточке).

Каждая группа озвучивает

решение,

сравнивая его с эталоном решения

на карточке.

Формируются умения применять

формулы.

Развиваются навыки

самоконтроля.

Учатся руководить и работать под

руководством, контролировать и

оценивать работу каждого.

25 мин

cos310110

2) = , cos = sin, cos = - = - .

sin10310

1

3) = 1, = = 3.

31010

Ответ: sin = -, cos = -, = 3.

1010

ctgctg

tgctgtg

ctg

tg

a

aaaaa

a

aaa

a

aaa

��

�

Задание 3. Упростите выражение:

22

2

1

- - sin.

cos

tg

aa

a

Решение:

2222222

2

1

sin1sin1sincos.

cos

tgtgtg

aaaaaaa

a

--=+--=-=

Ответ:cos

2

α.

Задание 4.Докажите тождество:

1)

(

)

(

)

sin

1

.

3

sin

cossin

22

ctg

papa

pp

a

aa

-

�

+

=

����

+

�

+

����

����

Доказательство:

(

)

(

)

(

)

sin

sincos1

.

3

sincossincossin

cossin

22

ctg

ctg

papa

aaa

pp

aaaaa

aa

-

�

+

�

===

-

�

-

�

����

+

�

+

����

����

Ответ:

(

)

(

)

sin

1

.

3

sin

cossin

22

ctg

papa

pp

a

aa

-

�

+

=

����

+

�

+

����

����

2)

4cos(π6−α) sin (π3−α) = (sin3αsinα)

Доказательство:

4sin (π3−α)cos (π6−α)=4.12(sin (π3−α+π6−α)+sin (π3−α−π6+α)) =

Совершенствуется

математическая речь.

Определяют планы на

перспективу.

Формируют навыки решения

экзаменационных заданий.

=2(sin(π2−2α)+sin π6)=2(cos2α+12)=2sinα (cos2α+12) sinα=

=2sinα cos2α+sinα sinα=sin3α−sinα+sinα sinα=sin3αsinαsin(π3−α)

cos(π6−α)=4.12(sin(π3−α+π6−α)+sin(π3−α−π6+α))=2(sin(π2−2α)

+sinπ6)=2(cos2α+12)=2sinα(cos2α+12)sinα=2sinαcos2α+sinαsinα=

=sin3α−sinα+sinαsinα=sin3αsinα,

что и требовалось доказать

5) Упростить выражение sin(a)(cos(a))

3

– (sin(a))

3

cos(a).

Решение: Вынесем за скобки sinα cosα. Получим:

sin(a)(cos(a))

3

– (sin(a))

3

cos(a) = sin(a)cos(a)( cos(a))

2

– (sin(a))

2

).

Теперь воспользуемся формулами двойного угла:

= (1/2)(2sin(a)cos(a))cos(2a) = (1/2)sin(2a)sin(2a) = (1/4)sin(4a).

Ответ: sin(a)(cos(a))

3

– (sin(a))

3

cos(a) = (1/4)sin(4a).

-

Заслушаем решение прототипа экзаменационных заданий.

Найти значение выражения

(

)

1

3

s

i

n

, если cos = .

3

сtg

apaa

�

-

Решение:

(

)

3sin

сtg

apa

�

-

=

1

3sin331.

3

сtgсos

aaa

�

==

�

=

Ответ: 1.

- Имеет ли отношение данное задание к нашей проблеме?

- Да, впереди экзамен, к которому должны быть готовы.

VI. Здоровьесберегающая пауза

Цель: выполнить

упражнения для

снятия усталости в

плечевом отделе и

для улучшения

мозгового

кровообращения

Физминутка

- Предлагаю для снятия усталости выполнить упражнение.

Исходное положение – сидя на стуле.

1) Руки за голову, локти развести пошире, наклонить голову назад.

2) Локти вперед.

3-4) Руки расслабленно вниз, голову наклонить вперед.

Повторить 3 раза. Темп медленный.

Фронтально.

Ученики выполняют

предложенные упражнения,

развивают навыки здорового

образа жизни.

1 мин

VII. Объединение результатов, полученных при решении частных проблем и решение главной проблемы

Тестовая работа

Цель:

Совершенствовать

навыки применения

основных формул

тригонометрии и

формул приведения.

Вариант 1.

1. Найдите градусную меру угла, радианная мера которого

7

.

12

p

1) 210º 2) 147 º 3) 105 º 4) 52 º

2. Найдите значение выражения

2cos3sin.

336

tg

ppp

��

+

�

��

��

1) 2 2)

31

+

3)

63

+

4) 3

3. Упростите:

(

)

(

)

sin

.

3

cossin

22

ctg

papa

pp

aa

+

�

-

����

-

�

-

����

����

1)

1

cos

a

2)

1

-

sin

a

3) -1 4)

sin

a

Вариант 2.

1. Найдите градусную меру угла, радианная мера которого

5

.

12

p

1) 80º 2) 75 º 3) 115 º 4) 95 º

2. Найдите значение выражения

4cos3sin.

334

сtg

ppp

��

�

+

��

��

Индивидуально.

Обучающиеся самостоятельно

работают с тестом по вариантам.

Обращаются к макетам

тригонометрической окружности.

Для тех, кто быстро справится,

предлагается задание с

опережением.

Проверяется тест по ключу на

слайде, корректируются ошибки.

Заслушивается ответ к

дополнительному заданию,

выстраивают логическую цепочку

к изучению новой темы «Свойства

тригонометрических функций».

25

мин

1)

32

+

2) 4 3) 5 4)

3

3. Упростите:

(

)

(

)

3

cos

2

sin

2

tg

ctg

p

apa

p

paa

��

+

�

+

��

��

��

-

�

+

��

��

.

1) -1 2)

sin

a

3)

1

cos

a

4)

1

-

sin

a

- Проверьте по цифровому коду (на слайде презентации):

Ответ: Вариант 1: 312 Вариант 2: 231

Для тех, кто выполнит тест раньше, предлагаю дополнительное

задание:

Найти наибольшее и наименьшее значения выражения

1 - 2

sin

a

.

Ответ: наименьшее значение равно -1, наибольшее значение равно 3.

VIII. Коллективное, групповое, индивидуальное решение проблем, результатов работы и коррекция ошибок

Цель:

прокомментировать

домашнее задание.

Решение проблемы.

Цель: применить

трудные вопросы

темы, ответить на

проблемный вопрос.

1) - Запишите: Решить № 1.6 (а-г), № 1.7 (а-г), № 1.8 (а-в), № 1.9

(а-г);

(«Сборник

задач

по

математике

/

Л.Н.

Гаврилова,

Т.Н.

Кожеманова, Е.К. Митина, З.Ш. Аглямова. – Казань : Издательство

«Познание», 2016. – 50 с.)

Подготовиться к самостоятельной работе

- Обратите внимание, в домашнем задании варианты разноуровневые,

критерии оценивания указаны. Решаете один из выбранных вариантов.

Давайте решим проблему необычным способом.

Сможете ли без калькулятора вычислить sin330º? Что для этого надо?

Рассматриваем два способа вычисления.

Фронтально

Записывают задание

Решают проблемное задание.

Подводят итоги и разрешают

проблему.

Производят выбор одного - двух

способов решения задания.

3 мин

sin330º = sin(360º - 30º) = -sin30º = -0,5 или sin330º = sin(270º + 60º) =

-cos60º = -0,5. Ответ: -0,5.

Вспомним следующее: Что означает понятие — функция изменяется на

кофункцию?

при 90 º и 270 º функция изменяется на кофункцию

при 180 º и 360 º функция на кофункцию не изменяется

IX. Рефлексия учебной деятельности на уроке

Цель: провести

рефлексию

собственной

деятельности.

- Назовите самые трудные задания, которые вызвали

затруднения для дальнейшей коррекции на следующем уроке.

- Прошу вас при выходе оценить урок маркером на макете

тригонометрического круга (круг нарисован на доске).

- Спасибо за урок!

Индивидуально

Называют задания, которые

вызвали затруднения.

Отмечают маркером:

I. Легко решу любое задание по

теме урока (Красный)

II. Все понятно, могу рассказать

правило и назвать формулы

(Зеленый)

III. Мне было еще трудно в

тестовой работе (Синий)

IV. Я не справился без помощи

(Черный)

2 мин

1

2

3

4