Автор: Белозерова Оксана Михайлов
Должность: учитель математики
Учебное заведение: МБОУ лицея №4 г.Георгиевска
Населённый пункт: Ставропольского края
Наименование материала: презентация
Тема: "Применение метода рационализации при решении логарифмических и показательных неравенств"
Раздел: полное образование
Метод рационализации
Работу
выполнили: Белозерова
О.М.
г.Георгиевск
Решение неравенств - важный раздел в математике.
Успешное
изучение
математики
невозможно
без
умения решать разнообразные неравенства, поэтому я
решила
рассмотреть
один
из
способов
решения
неравенств
–
метод
рационализации.
В
школьной
программе
он
не
изучается,
но
его
применение
значительно
облегчает
решение
задания
С3
ЕГЭ,
в
частности
логарифмических
и
показательных
неравенств.
Введение
Часто,
при
решении
логарифмических
неравенств,
встречаются задачи с переменным основанием логарифма.
Так, неравенство вида является
стандартным школьным неравенством. Как правило, для
его
решения
применяется
переход
к
равносильной
совокупности систем:
Теоретическое
обоснование метода
Недостатком
данного
метода
является
необходимость
решения
семи
неравенств,
не
считая
двух
систем
и
одной
совокупности. Уже при данных квадратичных функциях решение
совокупности
может
потребовать
много
времени.
Можно
предложить альтернативный, менее трудоемкий метод решения
этого
стандартного
неравенства.
Это
метод
рационализации
неравенств,
известный
в
математической
литературе
под
названием декомпозиции.
Метод
рационализации
заключается
в
замене
сложного
выражения F(x) на более простое выражение G(x), при котором
неравенство G(x) 0 равносильно неравенству
F(x) 0 в области определения выражения F(x).
•
Рассмотрим логарифмическое неравенство вида
,
(1)
где
-
некоторые функции
Теорема 1.
Логарифмическое неравенство
равносильно следующей системе неравенств:
(2)
Сведение
логарифмического
неравенства к системе
рациональных
неравенств
)
(
log
)
(
log
)
(
)
(
x
g
x
f
x
a
x
a
)
(
),
(
),
(
x
g
x
f
x
a
)
(
log
)
(
log
)
(
)
(
x
g
x
f
x
a
x
a
.
0
))
(
)
(
)(
1
)
(
(
,
0
)
(
,
0
)
(
,
1
)
(
,
0
)
(
x
g
x
f
x
a
x
g
x
f
x
a
x
a
Начнем с того, что первые четыре неравенства системы (2) задают
множество
допустимых
значений
исходного
логарифмического
неравенства. Обратим теперь внимание на пятое неравенство.
Если , то первый множитель этого неравенства будет
отрицателен.
При
сокращении
на
него
придется
изменить
знак
неравенства на противоположный, тогда получится неравенство
Если , то первый множитель пятого неравенства положителен,
сокращаем его без изменения знака неравенства, получаем неравенство
Таким образом, пятое неравенство системы включает в себя оба случая
предыдущего метода.
Терема доказана.
Доказательство
1
)
(
0
x
a
)
(
)
(
x
g
x
f
1
)
(
x
a
)
(
)
(
x
g
x
f
Теперь рассмотрим показательное неравенство вида
3)
Так же, как в предыдущем пункте, - некоторые
функции.
И снова вспомним, что традиционное решение такого неравенства
приводит
к
двум
случаям.
В
первом
основание
степени
положительно, но меньше единицы (знак неравенства обращается),
во
втором случае
основание
степени
больше
единицы
(знак
неравенства сохраняется).
Как
и
в
случае
с
логарифмическим
неравенством,
имеется
возможность
значительно
укоротить
решение
задачи,
используя
метод рационализации. Этот метод основан на следующей теореме.
Сведение показательных
неравенств к системе
рациональных
неравенств
)
(
)
(
)
(
)
(
x
g
x
f
x
a
x
a
)
(
),
(
),
(
x
g
x
f
x
a
Теорема 2.
Показательное неравенство
равносильно следующей системе неравенств:
(4)
)
(
)
(
)
(
)
(
x
g
x
f
x
a
x
a
.
0
))
(
)
(
)(
1
)
(
(
,
1
)
(
,
0
)
(
x
g
x
f
x
a
x
a
x
a
Если , то первый множитель третьего
неравенства будет отрицателен. При сокращении на
него
придется
изменить
знак
неравенства
на
противоположный, тогда получится неравенство
.
Если , то первый множитель третьего
неравенства
положителен,
сокращаем
его
без
изменения знака неравенства, получаем неравенство
.
Доказательство
1
)
(
0
x
a
)
(
)
(
x
g
x
f
1
)
(
x
a
)
(
)
(
x
g
x
f
Выделим
некоторые
выражения
F
и
соответствующие им
рационализирующие
выражения G, где f, g, h, p, q – выражения с
переменной x (h > 0,h
1, f > 0, g > 0),
1).
а – фиксированное число (a > 0, a
Выражение F
Выражение G
1
1а
1б
2
2а
2б
3
4
4а
5
6
Доказательство
Пусть log
a
f- log
a
g> 0, то есть log
a
f> log
a
g, причём a > 0, a ≠ 1, f > 0, g > 0.
Если 0 < a < 1, то по свойству убывающей логарифмической функции имеем
f < g. Значит, выполняется система неравенств
a -1<0
f – g < 0
Откуда
следует
неравенство
(a
–
1)(f
–
g)
>
0
верное
на
области
определения выражения F = log
a
f- log
a
g.
Если a > 1, то f > g. Следовательно, имеет место неравенство (a – 1)(f – g)> 0.
Обратно,
если
выполняется
неравенство (a
–
1)(f
–
g)>
0
на
области
допустимых значений (a > 0, a ≠ 1, f > 0, g > 0),
то оно на этой области
равносильно совокупности двух систем.
a – 1<0 a – 1 > 0
f – g < 0 f – g > 0
Из каждой системы следует неравенство log
a
f> log
a
g, то есть log
a
f- log
a
g> 0.
Аналогично, рассматриваются неравенства F < 0, F ≤ 0, F ≥ 0.
Пусть некоторое число а > 0 и а ≠ 1, тогда имеем
=
Знак последнего выражения совпадает со
знаком выражения
или (h-1)(f-g) .
)
1
)(
1
(
)
)(
1
(
h
a
g
f
a
Так как
=
то, используя замены 2а и 2б, получаем, что знак
последнего выражения совпадает со знаком выражения
(f - 1)(g - 1)(h - 1)(g – f).
l o g
logloglogloglog(log1)
l o g
g
gggggg
g
h
hhfhhf
f
==
Из неравенства
> 0 следует
. Пусть число а > 1, тогда
log
a
> log
a
или (h – g)log
a
h > 0.
Отсюда с учётом замены 1б и условия a > 1 получаем
(f – g)(a – 1)(h – 1) > 0, (f – g)(h – 1) > 0.
Аналогично, доказываются неравенства F < 0, F ≤ 0, F ≥ 0.
Доказательство проводится аналогично доказательству 4.
Доказательство замены 6 следует из равносильности неравенств
| p | > | q | и p
2
> q
2
( | p | < | q | и p
2
< q
2
).
g
f
h
h
g
f
h
h
f
h
g
h
Решить неравенство:
Решение:
Пример 1.
-
-
+
+
-2
2
1
ОТВЕТ:
Решить неравенство:
Решение:
Пример 2.
-
+
-2
1
0
ОТВЕТ:
-1
-1
0
1
+
-
-
+
Решить неравенство:
Решение:
Пример 3.
1
0
3
0
1
3
1
0
3
1
1
0
3
0
1
3
1
0
3
1
3
1
3
0
0
3
0
3
log
0
1
3
log
1
3
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
2
1
13
2
1
0
2
1
13
2
1
13
x
x
x
x
2
;
2
1
13
Пример 4.
Решить неравенство:
Решение:
x
x
x
x
x
x
3
log
3
log
3
5
2
35
41
12
2
2
0
3
log
3
log
3
5
2
35
41
12
2
2
x
x
x
x
x
x
(
(
2 2 2
2
2
2
2
12413425221036320
1241350
2530
1241340
2520
3
0
xxxxxx
х
x
x
x
x
x
x
x
x
x
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
3
0
2
1
2
0
2
12
17
0
3
2
1
0
4
7
3
5
0
2
1
12
17
5
8
2
4
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3
;
2
2
;
2
7
3
5
;
5
8
1
;
2
1
Пример 5.
Пример 6.
Пример 7.
Пример 8.
ОТВЕТ
ОТВЕТ
ОТВЕТ
ОТВЕТ
Решите примеры
Пример 9.
Пример 10.
Пример 11.
ОТВЕТ
ОТВЕТ
ОТВЕТ
-
+
1/2
3
2
ОТВЕТ:
+
-
0
-1
Пример 5
НАЗАД
-
+
6
2
ОТВЕТ:
1
3
9
+
-
+
Пример 6
НАЗАД
+
-
-1
3
1
ОТВЕТ:
0
-1
0
2
+
-
+
(2;3)
Пример 7
НАЗАД
-
+
-2
1
ОТВЕТ:
-1
-1
0
+
-
Пример 8
НАЗАД
-
+
-3
1
0
ОТВЕТ:
-1
-1/2
4
+
+
-
Пример 9
НАЗАД
-
+
3
ОТВЕТ:
1
1
2
+
+
-
Пример 10
НАЗАД
3/2
ОТВЕТ:
0
5/4
Пример 11
•
Корянов А. Г., Прокофьев А. А.
–
М е т о д ы
р е ш е н и я
н е р а в е н с т в
с
о д н о й
переменной. – 2011.
•
Моденов В. П. – Пособие по
математике. – 1972.
•
Ткачук
В.В.
-
Математика
а б и т у р и е н т у .
М о с к в а :
МЦНМО, 2008.
С П И С О К
использованной литературы